SUR LE THEORKME D ABEL
Soient J J ~ ce produit, et ^- le produit analogue pour les
u t<fl
courbes f=o, F — u0's> = o. On part, pour I'evaluer, de I'integrale
<m at
It F~
en posant toujours LT = ^> on trouve, de meme,
rp designant le residu de la fonction
U dt F O dt \ \ F
cp f
par rapport a un infini de cette fonction autre qu'un zero de - — u, c'est-a-dire par rapport a un zero de Q (&,y, z) ou de V {oc,y, z). S'il s'agit d'un zero de V, d'ordre de multiplicity ix, on a evidemment
dt dt dV / F
et s'il s'agit d'un zero de Q, d'ordre de multiplicity v,
dt dt
dl \ <p J
Si maintenant on integre les deux membres de la relation (i4) par rapport a u, on a
2 log £ = £ v log( ~ - «i) ^ log (1 - « Q v
d'ou
nMi$)n[F^
F(X, Y, Z)-«<p(X, Y.zy ,Z)-«0cp(X,Y,Z)
Dans le second membre, leproduit] | estetendu aux points X, Y, Z communs aux courbes f — o, Q = o; et le produit J"J aux points X, Y,
Z communs aux courbes f — o, V = o.
On en deduit, comme plus haut, les consequences suivantes :
Le produit des vdleurs que prend une fonclion rationnelle ^ (x, y, :)
do degre zero aux points communs a une courbe f = o et a chacune des courbes d'un faisceau F — wd = o est constant, quand une des courbes du faisceau passe par les points d 'intersection de la courbe J = o
avec les courbes O = o, V = o, rendant la fonclion ^ nulle ou in/inie ('). Ce produit est constant, en parliculier, si I' une des courbes du faisceau comprend la courbe QV — o, c'esl-d-dire si loutes les courbes du faisceau rencontrent aux mimes points les courbes Q = o, V = o.
17. Le theoreme demontre au n° 15 est 'susceptible d'une consequence interessante, dont nous ferons quelques applications, et que, pour cette raison, nous placerons a la suite de la theorie generale.
Supposons que les points de la courbe f = o, ou la fonction rationnelle^ (x, y, z) de degre zero devient infinie, soient tons des points
d'inflexion de /', et que la fonction ~ soit infinie du premier ordre en chacun de ces points.
Prenons pour faisceau secant le faisceau des courbes qui coupent respectivement f— o aux points de contact des tangentes communes a cette courbe et a cbacune des courbes d'un faisceau langentiel donne.
Je disque lasommedes valeurs do la fonction y aux points communs
a f=o et a chacune des courbes du faisceau ponctuel considere demeure constante.
II suffit, pour cela, de montrer que la courbe du faisceau ponctuel qui passe par un des points d'inflexion donnes sur la courbe f—o
( 1 ) II sufTU que la courbe du faisceau considcree pause paries poinls designes, quel (|iie soil le nombre des intersections de la courbe /= o avec les courbes Q = o, V = o conf'ondues en chacun de ces poinls.
SUR LE THF.OREME O A BEL. 333
touche cette courbeen ce point, ee qui est evident, puisque la tahgente d'inflexion correspondante doit etre comptee deux f'ois par mi les tangentes communes a la courbe /'— o et a la courbc du faisceau tangentiel qui touche cette droite. Done :
Soit (x, y, z) une fonction rationneUe quelcongue, de degre zero,
ne devcnanl infinic, sur une courbc algebrique /( x,y,z) — o, qiien des points d'inflexion de cetle courbe, et elunl infinie du premier ordre settlement en ces points (').
La somme des valeurs que prend cette fonction aux points dc contact de la courbe f — o et des tangentes communes a cette courbe et a une autre courbe algebrique de classe donnee reste fixe quand cetle derniere varie d\ine maniere. quclconquc, mais sans toucher constammeist une des tangentes menee a la courbe primitive en un des points d in flexion consideres.
DEUXIEME PAHT1E.
En appliquant a des ditferentielles algebriques ou a des fonctions rationnelles des" coordonnees ayant, par rapport a la courbe f = o, une signification geometrique, les formules et les theoremes demontres dans la premiere Partie de ce travail, on obtient des propositions geometriques nombreuses, dont quclques-unes meritent d'etre mises en evidence.
Nous les classerons en propositions relatives aux aires, aux directions et aux longueurs. Celles qui concernent specialement les arcs de courbe, dans le cas oil ces arcs s'expriment par une integrate abelienne, feront l'objet de la troisieme Parlie de notre travail.
(') Le sens de cette expression estle suivant : Si V = o a un contact d'ordre jjl — i avec/ = oau point considere, il faut que Q =o ait avec cette derniere courbe, au meme point, un contact d'ordre \j. — 2.
Propositions relatives aux aires.
18. L'aire elementaire comprise entro les deux points y); \ -+- d£, •q -+- dri de la courbe f — o et les rayons vecteurs qui joignent ces points a I'origine des coordonnees a pour expression
da — — n di -+- I dr, = -- [ — y ( - dx — x dz ) -+- x ( z dy — y dz ] ; or on a
J'/v-t- zf'z=nf=o, dxfx + dyf'y+ dz fl = o ;
on en conelut
da — (z dx — x dz).
z Jy
La fonction 0(0 est ici
(zx'-xz')
Elle ne devient infinie que pour les valeurs de / qui annulent z1 ; si 9 est de la forme z2 cp, et si F ne s'annule pour aucune de ces valeurs, 0(0 reste fini pour les memes valeurs, et les residus r$ correspondants sont nuls. Done :
Soit une courbe algebrique quelconque j ; menons les rayons vecteurs qui joignent un point arbilrnire da plan aux points communs a f et a une courbe algebrique quelconque F nayanl avec la premiere aucune direction asymptolique commune : la sommc des aires decrites par ces rayons vecteurs est nulle si la courbe F se deplace en reslant asymptote a elle-m^me ( ' ).
19. On peutdonner sur les aires un theoreme beaucoup plus general, et qui fournit une interpretation curieuse d'une des propositions algebriques exposees plus haut (14).-
Proposons-nous de chercher l'aire elementaire comprise entre les
courbes / = 0, F—uy = o, f-\-sty=o, F — (u-hdu) 9 = 0, au
(') Plus ijeneralement cette somme reste nulle si Ton prend successivement pour F toutes les courbes d'un faisceau comprenant une courbe qui admet pour asymptotes toutes les asymptotes de /.
SUR LE THEOREVIE k'abEI. . 335
voisinage du point £, yj, commun aux courbes F — acp = o, f - o.
Dans ces equations, i designe une quantile infiniment petite, independante do //.
Soient \ + d\, r\ -+■ dq les coordonnees du point voisin de /] situe sur les courbes f — o, F — (// -+- du) cp = o,lj -t- oi:, rj -t- or), celles du point voisin situe sur les courbes F — // <p — <>, J -+- z ^ = o. On a, pour l'aire cherchee, a un facteur constant pres,
da = a\ 8ri — d(\ 5? ;
or
d': [ F'p — u <p£ ] -\- O f) [ F'.n — u Cp',, ] = o, 3? /E -+- 8fj f rx + = O.
On en conclut
e4> [( f; - u 9i ) + ( Fr, — u 9;, ) </r, ]
et, en tenant compte dp la relation
o — dlJi + dr,/;r
il vient
Supposons que ^ soit de degre /> ^, « designant toujours le degre de f = o ; on aura, en revenant aux coordonnees homogenes,
da — £ , ; ., ( s fta — # <r/= )
et
CP
On n'a a s'occuper, pour le calcul des residus r$, que des zeros de z3-9 ; ces zeros ne sont pas des infinis de 0 (/), si Fon a
cp — z3~'>yt,
et les quantites r$ sont nulles. On en conclut, en donnant successivement a q les valeurs i et 3, les propositions suivantes :
La somme des aires comprises entre deux courbes asymptotes et deux courbes asymptotiques (' ) quelconques est nulle.
(0 Nous disons que deux courbes sont asymptotes, si elles out memes asymptotes asymptotiques, si elles ont memes directions asymptotiques.
La sornme des aires comprises enlre deux courbes quelconques, de mime degre, et deux courbes osculatrices enlre elles en torn leurs points a I'infini est nulle.
On doit adniettre toutefois que les deux groupes de courbes n'ont aucune direction asymptotique commune.
20. Plus generalement, ainsi que cela resulte du theoreme du n° 12 :
La somme des aires comprises enlre deux courbes asymptotes et deux courbes quelconques <le meme degre est nulle si, parmi les courbes du faisceau determine par ces dernieres, il en est une qui admette pour directions asymploliques toutes les directions asymptotiques des deux premieres.
La somme des aires comprises entre deux courbes asymptotiques et deux courbes quelconques de meme degre est nulle, si, parmi les courbes du faisceau determine par ces dernieres, Hen est une qui admette pour asymptotes toutes les asymptotes de Vune des premieres.
La somme des aires comprises entre deux courbes de meme degre et deux courbes quelconques, egalement de meme degre, est nulle, si, parmi les courbes du faisceau determine par ces dernieres, il en est une qui oscule I' une des premieres en tons ses points a I'infini.
En particulier :
La somme des aires illimilees comprises entre deux courbes osculatrices entre elles en lous leurs points a I'infini est nulle.
Propositions relatives aux directions.
21. Soit 8 Tangle que fait avec 0; la droite qui joint 1'origine a un point £, 7] du plan ; on a
tang B— y
et
!C. \ dt\ — n d\
Si le point £, yj appartient a la courbe /(£, yj) =o, il vient
SUR LE THEOREME d'aUEL. 33;
ou, en coordonnees homogenes,
d9=/i(Aj-)ixds-sdx)-
L'angle 0 est done donne par une integrate abelienne, et les theoreme.s de la premiere Partie permettent de calculer la somme des angles que font avec Ox les rayons vecteurs des points communs a la courbe f=o et a une courbe algebrique queleonque F — //o = o, ou plutot la variation qu'eprouve cette somme quand on passe de la courbe secante F — u0f = o a la courbe F — no = o.
Pour simplifier le langage, nous adopterons une definition due a Laguerre.
Soient dans un plan deux systemes de n droites A et B ; prenons arbitrairement un axe fixe H, dans ce plan : si la somme des angles que font avec l'axe fixe les droites du systeme A est egale, a un multiple de it pres, a la somme des angles que font avec ce meme axe les droites du systeme B, on dira que les deux systemes A et B ont meme orientation. lis jouiront evidemment de la meme propriete relativement a tout axe situe dans le plan ( 1 ).
22. De la forme de la dill'erentielle e/0 et des llieoremes generaux de la premiere Partie resultent par suite les propositions suivantes :
Les deux systemes, formes par les droites qui joignent respectivemcnt un point fixe auv points oil deux courbes algebriques de meme degre sont traversees par une courbe algebrique, ont meme orientation, si, par mi les courbes du faisceau determine par les deux premieres, il en est une qui passe par tous les points oil la derniere rencontre le cercle de rayon nul ay anile point fixe pour centre.
En.particulier :
Les deux systemes ont mime orientation, quelle que soil la derniere courbe, si les deux premieres rencontrent le cercle de rayon mil aux memes points.
(') Laguerre, Sur la determination du rayon de courbure des lignes planes {Bulletin de la Societe philomathique, p. i5 ; 18O7.
CEUVRKS DE O. HUMBERT, T. I. 43
23. Corame application de ces propositions generales, on peut enoncer, parexemple, les theoremes suivants :
L 'orientation du systeme des droites qui joignent un point fixe aux points d 'intersection d'une courbe algebrique quelconque et dun cercle ayant ce point pour centre est independante du rayon du cercle.
L 'orientation du systeme des droites qui joignent un point fixe a aux points a" intersection d'une courbe algebrique et d'un cercle quelconques est la meme que celle du systeme forme : i° par les droites qui vont de a aux points d' intersection de la courbe et de Vaxe radical du cercle eldu point a ; i° par les directions asymptotiques de la courbe.
Ce theoreme prend en particulier une forme tres simple si Ton suppose que le point a est situe sur le cercle ; l'axe radical du cercle et du point devientalors la tangente au cercle en a.
Si Von coupe par une courbe algebrique un faisceau de coniques ayant une direct/ice et un foyer communs, les systemes formes par les droites qui joignent le foyer aux points d intersection de la courbe et de chacune des coniques ont meme orientation : cette orientation est celle du systeme forme par les droites qui joignent le foyer aux points d 'intersection de la courbe et de la directrice el par les droites opposees.
Ce theoreme est une generalisation d'une proposition connue sur les coniques, et qu'on retrouve en supposant que la courbe secante soit une droite.
24. On peut obtenir des propositions analogues, et plus elegantes, en considerant, au lieu des coordonnees ordinaires, des coordonnees tangentielles.
Soit /(U, V) = o, ou, en coordonnees homogenes, / (;/, v, w) = o l'equation tangentielle d'une courbe, Tangle que fait avec 0£ la tangente TJ^-h Vy] ■+- i = o est defini par la relation
tang0= — ^,
d'ou
YdU-UdV V fj + U fj dV U24-V2 U2+V2 ft
SUR LK THEOREME d'aBEL.
et, en coordonnees homogenes,
On conclut de cette expression que l'orientation des tangentes communes a la courbe/ = o et a deux courbes algebriques est la meme si, parmi les courbes du faisceau tangentiel determine par ces dernieres, il on est une qui touebe les droites menees tangentiellement a la courbe f—o paries points u -+- vi — o, u — vi = o, c'est-a-dire par les points cycliques du plan. En d'autres termes :
Les deux systemes de tangentes respeclivcment communes a deux courbes algebriques de meme classe et a une courbe algebrique quelconque ont meme orientation, si, parmi les courbes du faisceau tangentiel determine par les deux premieres, Hen est une qui admette pour foyers tous les foyers de la derniere.
En particulier :
Les deux systemes de tangentes respectivement communes a deux courbes homofocales el a une courbe algebrique quelconque ont meme orientation ( ' ). (Laguerre.)
25. Ces propositions donnent lieu a de nombreuses consequences : de la derniere on deduit en particulier les theoremes suivants :
Si d'un point M situe dans le plan a" une courbe de classe n on mene les n tangentes a la courbe, et si I' on joint le point M aux n foyers reels de la courbe, les deux systemes de droites ainsi oblcn us ont meme orientation (2) .
Soient deux courbes de classes m et n, A et B : le systeme des mn tangentes communes a meme orientation que le systeme des mn droites qui joignent les m foyers reels de A aux n foyers reels deB (3).
(') Ce dernier tlieoreme a cte donne sans demonstration sous une autre forme par Lagnerre [Sociite philomathique, p. 140 ; 1870).
(2) Ce theoreme a ele donne par Laguerre sans demonstration dans les Comptes rendus (janvier i865).
(3) Ce theoreme a ete donne par Laguerre sans demonstration dans le Bulletin de la Societe philomathique, p. 140; 1870.
3/j0 OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.
La premiere ties propositions du n°24 fournit egalement des consequences interessantes :
Soil un faisceau tangentiel de courbes a/gebriques de classe n ; par un foyer f de I' une d'entre elles, menons les n tangenlcs a Vune quelconquc des autres : lous les systemes ainsi obtenus a parlir du point f onl meme orientation.
On en conclut que :
Si V on joint le point f aux n foyers reels d'une quelconquc des courbes du faisceau tangentiel considere el aux n foyers reels d^une autre de ccs courbes, egalement quelconque, les deux systemes ont meme orientation.
En d'autres termes :
Le lieu des foyers des courbes d'un faisceau tangentiel, determine par deux courbes A et B de classe n, est une courbe telle que, si Von joint un de ses points aux n foyers reels de A et aux n foyers reels de B, les deux systemes ainsi obtenus aient meme orientation. Ce lieu ne depend done pas de lous les parametres qui definissent les courbes A et B ; il ne depend que de fa position des foyers de ces courbes.
26. En appliquant ces resultats aux coniques, on obtient les propositions suivantes, dont quelques-unes sont aisees a demontrer directement.
Solent deux coniques A et B, ayanl respectivement pour foyers re"els les points aK et a.2t b, et 62; soil C une conique quelconque inscrile dans le quadri latere circonscrit a A et B : les deux faisceaux de droites qui joignenl un foyer de C aux points a, et «2, b, et b2 ont mimes bissec- Irices.
Le lieu des foyers des coniques inscrites dans le quadrilalere circonscrit a deux coniques reste le meme si ces deux coniques varienl, leurs foyers respectifs demeurant fixes : la proposition prece'dente definit ce lieu.
Soient deux systemes de courbes respectivement homofocales : les points d' intersection des tan gentes communes a une courbe quelconque du premier systeme, et a une courbe quelcon(jue du second, reslent sur une courbe qui coincide avec le lieu precedent.
