SUR LE THEOHEME D ABEL
Car ce lieu est celui des points tcls que les droites mas et ma2 aient les memes bissectrices que les droites mbf et mb2 : on forme sans difficulte son equation, en s'appuyant sur eette propriete, et Ton trouve une courbc du troisieme degre.
Propositions relatives aux longueurs.
27. Nous commencerons par des theoremes relatifs aux centres des moyennes distances d'un systeme de points, et dont quelques-uns ont ete donnes par Liouville.
Soit /(£, r]) = o une courbe algebrique de degre n; appliquons les theoremes generaux de la premiere Partie a I'integrale
On a, en coordonnees homogenes,
.. z doc — jc cl z> d\- ~.
La fonction Q(t) est ici
On en conclut que la somme des abscisses des points communs a la courbe f=o eta l'une quelconque des courbes du faisceau F — «cp — o est constante, si, parmi ces courbes, il en est une qui admette pour asymptotes les asymptotes de /; et, en particulier, si toutes les courbes du faisceau sont asymptotes entre elles.
Les memes theoremes s'appliqucnt a la somme des ordonnees.
Si les courbes du faisceau F — u® ont memes directions asymptotiques, c'est-a-dire si 0= z<d,, on a
Les infinis de correspondantauxzeros de z, sont alors simples,
342 OETJVRES DK GEORGES HUMBERT.
et Ton a, pour le residu relatif a l'un de ces zeros, (3,
quantite independante de //.
Par consequent on aura
A est une constante, et
On aura it de meme
^n=Af« + B'.
28. De tout ce qui precede, on deduit les propositions suivantes :
Le centre des moyennes distances des points communs a deux courbes algebriques quelconques resle fixe si I'une de ces courbes varie en reitant asymptote a elle-meme ( 1 ). (Liouvjixe. )
Le centre des moyennes distances des points communs a une courbe algebrique quelconque et aux courbes d'un faisceau resle fixe, si, parmi les courbes de ce faisceau, il en est une qui admette pour asymptotes toutes les asymptotes de la premiere courbe. (Exemple : la courbe fixe est une droite, asymptote ii I'une des courbes du faisceau).
Le centre des moyennes distances des points, communs a une courbe algebrique quelconque el a chacune des courbes d~*un faisceau, decrit une droite, si les courbes du faisceau onl memes directions asymptoliques, ousi rune d'elles admet pour directions asymptoliques toutes les directions asymptotiques de la premiere courbe.
Exemple. — Le centre des moyennes distances des pieds des normales abaissees d'un point sur une courbe algebrique ne passant pas par les points cycliques du plan decrit une droite, quand le point considere se meut lui-mime sur une droite.
(') Journal de Mathematiques pares et appliquees, p. 371; 1 84 * -
SUR LE THEOREME d'abEL.
Dans lous ces ('nonces, on suppose que la com bo consideree et le faisceau des courbes secantes n'ont aucune direction asymptotique commune; il est d'ailleurs inutile d'introduire explicitement cette restriction, puisque, si Ton se (rouve place dans le cas singulier dont il s'agit, un des points de rencontre de la courbe fixe et des courbes du faisceau est toujours a 1'infini, et qu'il n'y a des lors plus lieu de considerer le centre des moyennes distances de ces points.
29. Nous n'avons applique jusqu'ici a ('integrate j' cCc, que les propositions generales sur les integrates abeliennes; nous pouvons allcr plus loin puisque cette integrate est une fonction rationnelle de \, yj; et la proposition du n° 15 nous donnera la consequence suivante, plus generate que celles qui precedent.
Le centre des moyennes distances des points communs a une courbe algebrique quelconque et aux courbes d' un faisceau reste fixe, si chaque asymptote de la courbe est asymptote a V une des courbes du faisceau.
On peut deduire de la des theoremes interessants, en faisant varier le degre et la nature du faisceau secant, tout en satisfaisant toujours a la condition indiquee; ainsi :
Le centre des moyennes distances des points de contact des tangentcs menees a une courbe algebrique parallelement a une meme direction resle fixe quand cette direction varie. (Chasles. )
30. Si toutes les asymptotes d'une courbe sont d'inflexion (la courbe
n'etant pas tangente a la droite de rinfini), la fonction \ ou ^ ne devient
infinie qu'en des points d'inflexion de cette courbe et, par suite, d'apres (17),
Le centre des n\oyennes distances des points de contact des tangentes menees par un point quelconque du plan a une courbe algebrique ayant loules ses asymptotes d'inflexion est un point fixe.
Ce point est egalemenl le centre des moyennes distances des points de contact avec la courbe consideree des tangentes communes a cette courbe et a une courbe algebrique quelconque.
En transformant ces propositions par la methode de reciprocite, on arrive aux resultats suivants :
Soit une courbe telle que toutes les tangentes qu'on peut lui mener par un point soient des tangentes de rebroussement : la polaire de ce point par rapport aux tangentes menees a la courbe en ses points de rencontre avec une droite quelconque est une droite fixe.
Cette droite est egalement la polaire du point considere par rapport aux tangentes menees a la courbe en ses points de rencontre avec une courbe algebrique quelconque.
Ces propositions s'appliqnent par exemple, a l'hypocycloide a trois rebroussements, aux developpees de coniques. etc.
31. Si, an lien de Fintegrale j a%, on considere J on est amene a la recherche du produit des abscisses qui correspondent aux points d'intersection des courbesy — o, F — wu — o.
On a
rdl px'z — xz' ,
Jt=J-^-'"-
et Ton peut par suite enoncer le theoreme suivant :
Le produit des distances a une droite fixe D des points communs a une courbe algebrique f, et a chacune des courbes d' un faisceau, est constant, si, parmi les courbes du faisceau, il en existe une qui admelte pour directions asymptotiques toutes les directions asymplotiques de f, et qui passe par les points ou cette derniere courbe rencontre la droite D.
En particulier :
Ce produit est constant si toutes les courbes du faisceau ont mimes directions asymptotiques et coupent aux memes points la droite D.
Exemple. — Si Ton coupe une courbe algebrique par une serie de cercles ayant deux points communs, A et B, le produit des distances a la droite AB des points d'intersection de la courbe et d'un des cercles est constant.
