En partant de l'integrale
SUR LE THEOREME d'abEL. 345
on arrive a des resullats semblables a ceux des nos 28, 2(.) el 30, Ainsi, par exemple :
La somrne des inverses des distances a une droile D des points communs a une conrbe algebrique et a chacune des coui'bes d'un faisceau reste constante si I une des combes du faisceau passe par les points d [intersection de la courbe primitive avec la droite, D el y a les memes langentes que celle courbe.
Si tons les points oil une droite D rencontre une courbe algebrique sont des points d inflexion, la somme des inverses des distances d cettc droite des points de contact de la courbe avec les tangentes issues d'un point quelconque est constanle.
Ce theoreme s'applique, par exemple, aux courbes du troisieme onlre.
33. L'emploi des coordonnees langentielles conduit egalement, sur les longueurs, a des proprietes interessantes, dans l'enonce desquelles figurent des systemes de courbes homofocales, comme dans le cas des propositions sur les directions.
La distance de l'origine a la droite U^ + Vy] 4-1 = 0 est donnee par la formule
d'ou
do __ 1? dil +VrfV ~T~ L'a+V2 5
et, en coordonnees homogenes, en supposant qu'on ait pour equation de la courbe
il vicnt
0 fi,{u!^
[w du — u dw).
II rcsulte de cette expression que le produit des distances de l'origine aux tangentes communes aux courbes
/=o, F — l(u* + v*)(v% — o reste constant quand on fait varier le parametre A, et Ton exprimerait
CEUVRES DE O. HUMBERT, T. I. Vl
sans difficulty cette proposition sous une forme purcment geometrique, d'ailleurs un peu compliquee.
Nous nous bornerons a examiner quelques cas particuliers.
34. Supposons d'abord que la courbe /= o soit une conique, ayant I'origine pour foyer. On aura
f(u, r, »') = w2+ r2 + n'(au -+- bv -+- civ),
d'ou
do bu — av . . , .
Le denominateur ne contient plus le faeteur w, on peut done enoncer les theoremes suivants :
Le produil des distances du foyer d'une conique aux tangenles, communes a cette conique el a chacune des courbes d'un faisceau tangentiel, est constant, si, parmi les courbes du faisceau, il en est une qui admelle pour foyers les foyers de la conique.
Le produit des distances du foyer d'une conique aux tangenles communes a cette conique et a chacune des courbes d'un systeme homo focal, quelconque d'ailleurs, est constant.
En d'autres termes :
Le produil des distances du foyer dune conique aux i n tangenles communes a cette conique et a une courbe algebrique de classe n est e'gal au produit des distances du meme point aux i n tangenles quon peut mener a la conique par les n foyers reels de la courbe.
35. Supposons, en second lieu, la courbe f=o etant quelconque, que Ton considere les tangentes communes a cette courbe et a des coniques homofocales, ayant I'origine pour foyer, [/equation generate de ces coniques sera
w(au -+- bv -t- cw) — a(«s -+- P?) = o,
X etant un parametre variable, et la fonction ®(l) correspondantc sera
ufv — i/„ wu' — uw
fvw («2 ■+- e2) w {au + bv + cw) ^
SUR LE THEOREME n'ABEL.
Los zeros du dcnominateur qui sont des infinis de &(t) sont ceu\ de w, le residu correspondant a l'un d'eux (3 est
Or on a, pour t = (3, puisque w est nul,
ce qui donne enfin
d'ou, en vertu de la formule fondamentale,
~2 / T=-,ilog*'
n etant le nombre des zeros (3, c'est-a-dire la classe de la courbe / = o. ElTectuant l'integrale dans le premier membre, on Irouve, en appelant o,, o2, ... les distances de I'origine aux tangentes communes a/= o et a la courbe w(au -h bv -+- cw) — \{ir + v'-) = o,
a, a,. . .=AX",
A etant une constante independante de ~k. Or, si Ton designe par B le demi-petit axe de la conique w(au -+- bv + w) — A(«2 + v2 ) = o, on a
d'ou cette proposition :
Soient une courbe algebrique C, de classe n, et une serie de coniques homo focales, ay ant pour foyers les points f etf \ le produit des distances du point f {on f) aux in tangentes communes a C et a I'une des coniques est proportionnel a la puissance in du petit axe de cette conique.
36. Les coordonnees du pied de la normale menee de I'origine a la droite 0 \ -b Vyj 4- i = o sont
On a
c -u -V \— CPh-V*' Y)— u2+V2'
rfU(U2- V'2) + aUVrfV
348 OEUVRES T)E GEOIUiES HUMBERT.
et, en coordonnees homogenes, La fonction Q(t) est ici
(a3 — v*)/,:— nn'fu wu'— uw' ?
En raisonnant comme au n° 27, on voit que :
Le centre des moyennes distances des piecls dcs perpendiculaires abaissees d'un point Jixe sur les langentes communes a line courbe algcbrique et a chacune des courbes d'un faisceau langentiel homofocal, decrit une droite.
Le centre des moyennes distances des pieds des perpendiculaires abaissees d'uu point Jixe sur les langentes communes a une courbe algebrique et a chacune des courbes d^un faisceau langentiel decrit une droite quand, parmi les courbes du faisceau, il en est une qui admet pour foyers tous les foyers de la premiere courbe.
37. De meme, si Ton observe que les courbes dont l'equation tangentielle est de la forme F — \(u'2 -+- ^2)2cp — o ont a la fois memes foyers et memes points de contact avec les droites isotropes issues de ces foyers, c'est-a-dire memes foyers et memes directrices, en appelant directrice correspondant a un foyer la droite qui joint les points de contact de la courbe avec les deux droites isotropes passant par ce foyer, on peut enoncer les propositions suivantes :
Le centre des moyennes distances des pieds des perpendiculaires abaissees d'un point quelconque sur les langentes communes a deux courbes algebriques reste fixe quand Vune de ces courbes varie en conservanl ses foyers et les directrices correspondantes .
Le centre des moyennes distances des pieds des perpendiculaires abaissees d'un point quelconque sur les langentes communes a une courbe algebrique et a chacune des courbes d'un faisceau langentiel reste fixe, si, parmi les courbes du faisceau, il en est une qui adrnette pour foyers, et pour directrices correspondantes les foyers et les directrices de la premiere.
SUR LE THEOHEWE n'ABF.L.
