Soit toujours pose
on a
II resulte de cette expression que :
La somme des carres des distances d'un point quelconque aux tangentes communes a deux courbes algebriques reste constante, quand Vane de ces courbes varie en conservant ses foyers el les directrices correspondanles.
La somme des carres des distances d un point quelconque aux tangentes communes a une courbe algebrique el a chacune des courbes d un faisceau tangentiel reste constante, si, parmi les courbes du faisceau, il en est une qui admette pour foyers el pour directrices correspond antes les foyers el les directrices de la premiere.
39. Nous terminerons ce Chapitre par la remarque suivante, qui montre cornbien la methode generale se plie aisement aux applications. Considerons la courbe
us(rtU + ovy- >.(U2+ v2)= o.
C'est l'enveloppe d'uiie droite de longueur egale a dontjes deux extremites s'appuient respectivement sur les droites
y) = o, at) — Z>> — o.
En coordonnees homogenes, on a pour son equation u-(au -+■ bv)2 — A(«2+ v2)w2— o.
On deduirait aisement de la, par la methode generale, les theoremes suivants, dont quelques-uns ont ete deja demontres plus haut, sous forme plus generale.
Soient G une courbe quelconque de classe n\ D, et D2 deux droites quelconque, se coupon t en un point 0.
Les tangentes a C se parlagent en sy slimes de l\n droites, telles que les
segments interceptes par les droites D, et J)2 sur les tangentes d'un mime sysleme soient egaux enlre eux :
i° Tons ces sy si ernes ont mime orientation .
2° Le produil des distances da point 0 aux tangentes d'un mime sysleme est constant.
3° La somme des distances da point 0 aux tangentes d'un meme sy steme est constanle.
4° Le centre des moyennes distances des pieds des perpendiculaires abaissees de 0 sur les tangentes d'un mime sysleme decrit une droite.
5° Le centre des moyennes distances des points ou les tangentes d'un mime sysleme rencontrenl la droite D, (ou D.,) est fixe.
6° La polaire du point 0 par rapport aux tangentes d'un mime sysleme est une droite fixe.
On eomprend que les applications de cette nature peuvent etre multipliees indefiniment ; comme elles ne presentent aucune difficulte speciale, nous ne les poursuivrons pas ici, nous reservant d'exposer et de developper, dans un autre travail, les resultats principaux auxquels nous sommes parvenu par cette methode.
