DES COURBES DE DIRECTION
Definitions et proprietes generates.
40. Laguerre a le premier introduit dans la Geometrie la notion des courbes de direction, c'est-a-dire des courbes qui peuvent etre regardees comme Tenveloppe de droites ayant un sens determine.
Au point de vue analytique, ces courbes sont telles que la distance d'un point quelconque du plan a une tangente soit fonction rationnelle. des coordonnees du point de contact.
D'apres cette definition, l'equation generale des courbes de direc-
SUR LE THEOREME d'aBEL.
tion sera, en coordonnees tangentielles,
(U« + V*)F»(U, V) = cp2(U, V),
F et © etant deux polynomes entiers en U et V. En coordonnees cartesiennes rectangulaires, la courbe yj) — o sera de direction si l'expression f\-\-f'^ est le carre d'une fonction rationnelle de y\ pour toutes les valeurs des variables satisfaisant a 1'equation f(%, rj) = o.
II resulte de la que Varc d'une courbe de direction s'exprime par une integrate abeliennc appartenant a la courbe; nous pourrons done appliquer a ces arcs les tlieoremes etablis pour les integrates abeliennes, et ces applications constitueront l'objet de la troisieme Partie du present travail. Toulefois, avant d'aborder celte etude, nous exaininerons de plus pres la forme de la differentielle de l'arc d'une courbe de direction, et nous indiquerons quelques proprietes qui se deduisent immediatement de l'expression obtenue.
41. D'apres ce qui precede, si la courbe /( r, y, z) = o est de direction, on a identiquement
(i) NH/;2+/;;i)=M2+p/)
M, N et P etant des polynomes entiers en x, y, z. Cette identitc peut se mettre sous la forme plus simple
'\/ et % etant des polynomes entiers.
Pour le demontrer, nous rappellerons un theoreme que nous avons demontre, dans un travail anterieur, sur ['Application de la theorie des fonctions fuchsiennes a i etude des courbes algebriques ( 1 ).
Supposons les coordonnees des points de la courbe f —o mises sous la forme
on 0,, 02, 0S sontdes fonctions thetafuchsiennes holomorphes de /, de degre [J. et de genre p, ayant k zeros communs dans le polygone generateur; le degre n de la courbe /= o sera egal a 2^(^ — 1) -k K3),
(' ) Journal de Matheinatiques pures et appliquees, 1886.
Cela pose, soit G(/) une fonction thetafuchsienne holomorphe, de degre u. q, admettant comme zero multiple d'ordre q chacun des k zeros communs a cc,y, z : el le sera fonction ration nelle de Q,,02, 03; pour que cette fonction rationnelle soit une fonction entiere, il faut et il suffit(et c'est en cela que consiste le theoreme demontre dans le travail precite) qu'on ait, en designant par e, e' les arguments qui correspondent a 1'un quelconque des points doubles de la courbe /= o,
6(s):S'>(s) = 6(s'):ei(e').
Remplacons maintenant, dans l'identite (i), oc,y, z par Q((/), 62(/), 03 (/) ; il vient, puisque f—o,
If? +
Cette equation montre que la fonction de /, (f 'J +-/]')' , qui n'a evidemment pas . d'infinis dans le polygone generateur, est une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre p(n — 1); elle admet, d'ailleurs, comme zeros multiples d'ordre n — 1 chacun des zeros communs a 0,, 0a, 0, ; designons-la par O(^).
On a evidemment
Hz):B"{-^i) = Ht'):B'\-^'),
puisque, f'x et /' s'annulant au point double (e, e'), 0(e) et (Y) sont nuls. Par suite, 6(£) est une fonction entiere, de degre n — 1, de 0n 62, 63.
Soit '^(6(, 02, 03) cette fonction.
On a, tout le long de la courbe /= o,
et par suite, il vient idenliquement, quels que soient x, y, z,
']> et y etant respectivement des polynomes de degres n — 1 et n — 2. De la resultent, pour Tare de la courbe f — o, les expressions
, d) ,v <l> z dx — x dz (3) ds=?Td^=ZT -
/*) Jy
SUR LE THEOREME d'aBEL.
De I'identite (2) on deduit sans diflieulte que la courbe •} = o est une courbe adjointe de la courbe /= 0, et que, si cette derniere a un contact d'ordre h en un point avec la droite de I'infini z = 0, la courbe ^ = o a en ce point, avec la meme droite, un contact d'ordre h — i.
Cette identite met egalement en evidence la propriete geometrique suivante des courbes de direction :
Les tangentes quon peul mener a une courbe de direction par les points cy cliques de son plan, et dont les points de contact sont a distance /inie, sont des tangentes d' inflexion.
En d'autres termes :
Les foyers, non singuliers et a. distance finie, d'une courbe de direction, sont les centres de cercles de rayon nul biosculateurs a la courbe.
