L'exprcssion
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montre que, si Ton s'est donne la fonction '\>, qui n'est determinee qu'au signe pres, I'element d'arc compris entrc les points r\ et ? + f/;, y] -+- d/] a un signe et, par suite, un sens determine. Ge sens definit egalement celui de la semi-droite qui touche la courbe an point rj. Si Ton -cbange le signe de -js le sens change pour toute la courbe.
II existe toutefois des courbes de direction pour lesquelles la fojiction ']> a plusieurs valeurs diflerentes; ces courbes sont necessairement decomposables en courbes de degre moindre.
Si Ton a, en effet,
/;2 + /;- = -y + yj = <h + -/a /,
on en conclut
et, comme ^ et ^, sont de degre n — 1 , tandis que / est de degre n, il f'aut que la courbe/ = o se decompose en courbes de degre moindre, qui seront evidemment des courbes de direction.
Q5UVHES DE G. HUMBERT. T. I.
Soil alors / = Fcp, avcc les relations
E'* g*+ df,
ta'J +■ cp'2 = T1 -t- Ao,
on a
, /i* + /;« = ?» ( g2 + df ) + f2 ( p + a? ) + 2 f 9 ( f.v a4 + f; cp;. )
(4) =(?<; -Fr)2+AF?
I = (9C1 4- Fr)2-+- BF<p,
A et B etant des polynomes entiers. On voit ainsi que a les quatre valeurs =t (©G — Fr) et ± (G -4- Fr), qui correspondent evidemment aux quatre combinaisons que Ton peut faire en associant la courbe F = o ou cette courbe parcourue en sens inverse avec la courbe 9 - o ou avec cette courbe' parcourue en sons inverse.
43. Les courbes de direction jouent, dans la theorie des surfaces algebriques, un role important, qui n'a peut-etre pas ete remarque, et que le theoreme suivant met en evidence :
Toute ligne de cowbure plane, non singuliere, d' une surf ace alg&brique est une courbe de direction, dans le cas au V angle constant sous lequel son plan coupe la surface nest ni nul ni droit.
Ou encore :
Tout plan qui coupe une surface algebriqtie, le long d'une courbe non singuliere sous un angle constant, qui n'est ni nul, ni droit , la coupe suivant une courbe de direction.
Soit, en efi'et, la surface F(£, rk, '() = o, coupee par le plan '( — o sous un angle V, tout le long de la courbe /'(£;, yj) = o. On a
(5) F(t, rj,^) = M, Yi) 9 (t n, 0 -+- KM *>, K) et, tout le long de la courbe 'C — o, f(l, yj) = o,
w cos V s
Or le long de cette courbe, on a, d'aprrs (5),
Efe=<p(5,n,o>/h F; = cp(^,-o,o)/0'; F^ = x(f, „,o).
SDR LE THEOREME n'ABIiL. 355
La relation (6) devient
ftt, n, o) ( +fi? ) = z2 (c, v), o) tang' V,
et, par suite, la courbe /= o est bien de direction, si tang V n'est ni nul, ni infini, et si j\ et f ne sont pas nuls le long de la courbe.
De la resulte cette consequence importante que les transformations qui conservent les lignes de courbure changent une courbe de direction en une autre courbe de direction; en particulier :
Toute transformation par rayons vecteurs reciproques dans le plan fait correspondre a une courbe de direction une autre courbe de direction.
Cette proposition, qu'on peut d'ailleurs verifier directement, nous sera utile plus tard.
Courbes de direction du troisieme ordre.
44. Les considerations qui precedent vont nous permettre de trouver les courbes de direction les plus simples apres la ligne droite et le cercle, c'est-a-dire les courbes de direction du troisieme ordre.
Cherchons d'abord les courbes de direction du troisieme ordre, nc touchant pas la droite de l'infini, ne passant pas par les points cycliques du plan et n'ayant pas de point singulier.
Si f=o est l'equation d'une telle courbe, on a, comme toujours,
II resulte de cette equation que chacune des coniques f'x± if touche la courbe en trois points, situes sur la conique ^ = o; les tangentes a f = o en ces points passent, d'ailleurs, par l'un des points cycliques du
plan : on peut done mener par Tun de ces points, z = o, — = i par
exemple, trois tangentes a la conique /, . -+■ ij'r =o. Les coniques f'x±ify=o doivent, par suite, se reduire a une droite double. On a ainsi, en supposant f(oc, y) reel,
/;+ ify t= ( a + b OS fi -«/;=( A - B iy ;
d'ou
/a'.^A2-B2, /;=2AB;
A et B sont deux polynomes reels <lu premier degre en x,y, z. Eerivons maintenant que les valeurs de/* tirees do celles de /'. et/' sont egales; nous arriverpns ainsi a la forme de A et B et, par suite, a celle de/.
Sans entrer dans les details de ce ealcul, qui ne presenie aucune difficulte, nous dirons sculement que, en prenant pour axe des \ la droite A = o, on arrive a trouver ( 1 )
/,'= x1— y*, f; = —ixy;
d'oii
/ = ^ x3 — xy- -+- A z3 — o,
~k etant une constante arbitraire. On peut ecrire cette equation
(7) J-3 — ?>xyt—a*z3 on ^! — 3£/j2 = r/2.
On demontrerait ensuite, sans difficulte, qu'il n'existe pas de com bes de direction reelles du troisieme ordre, indecomposables, sans point double, touchant la droite de 1'infini 011 passant par les point cycliques : il ne reste plus qu'a chercher les cubiques de direction a point double.
45. Si une cubique a point double est de direction, il faut, puisque les tangentes issues des points cycliques doivent etre d'inflcxion, et puisque la courbe n'a que trois points d'inflexion, que la cubique touch e la droite de 1'infini en trois points confondus, et admette deux autres points d'inflexion, a distance finie, tels que les tangentes en ces points passent respectivement par les points cycliques.
Son equation peut done se mettre sous la forme
z( x'1 4- y- ) — ~k(x -t- az)3.
Ecrivant qu'elle a un point double, on trouve
et Ton verifie qu'elle est de direction. On a en eflet
f?+f'y- = {x + azy
31(x + az) — -^z .
(') On trouverait egalement dans le courant du calcul des courbes de direction du troisieme ordre se decomposant en courbe de direction de degre moindie.
Nous avons done une seconde categorie de. cubiques de direction donnees par 1'equation
(8) 27 m(42+rf-) = (4 + 4"03-
46. Les cubiques de direction sont, d'ailleurs, remarquables a plus d'un litre. Considerons d'abord celles de la premiere categorie. Nous savons que les tangentes qu'on peut leur mener par les points cycliques du plan sont d'inflexion, etque les points de contact des trois tangentes issues d'un meme point cyclique sont sur une droite. Comme on a
/;+ i/;=- 3(j + i*S*, f ',— '/>' = - 3(y - ix)K
on voit que les points de contact des tangentes issues d'un point cyclique sont sur la droite qui joint l'autre cyclique a l'origine. Si Ton remarquc, de plus, que les trois asymptotes sonl des tangentes d'inflexion, et qifelles concourent a l'origine, on peut enoncer la propriete suivante de la courbe :
Le triangle forme par Voi-igine et les deux points cycliques est tel que les tangentes quon peut mener a la courbe par I'un des sommets de ce triangle sont trois tangentes d'inflexion, et que leurs points de contact sont sur le cote oppose.
L'existence d'un pareil triangle earacterise une cubique equianharmonique.
Inversement, toute cubique equianharmonique peut etre projetee suivant une courbe de direction : il suffit de faire coincider les projections de deux des sommets de son triangle inflexionnel avec les points cycliques du nouveau plan.
En coordonnees polaires, 1'equation des cubiques de direction prend une forme simple. Si Ton pose
£:=pcosw, yj = psinw,
on trouve
p3 (cos3 a> + 3 cos &> sin2 w) = a3 ou p3cos3w=:a3.
Ces courbes appartiennent done a la classe si remarquable des courbes on — A cos noi, sur lesquelles nous aurons a revenir plus tard.
II nous sera egalement utile, dans la suite, de connaitre l'expression
des coordonnees des points de la cubique (7) en fonction elliptique d'un parametre.
Soit pu la fonction de M. Weierstrass, correspondant au cas de g2 = 0. On a
Si Ton pose
ag% 1
ft 3
on trouve, en eliminant pu et p'u entre ces trois relations,
Examinons maintenant les cubiques donnees par l'equation (8). En coordonnees polaires, on a aisement
p' cos ^ oi
equation d'une forme analogue a celle trouvee plus haut, et qu'on sait appartenir a la caustique par reflexion d'une parabole, les rayons lumineux etant perpendiculaires a l'axe.
Proprietes des arcs des courbes de direction.
