premiere Partie; elle est egale z—^f r$du, en designant par Z/'p la
somme des residus, par rapport aux zeros de z-f'y, de la fonction de l,
SUR LE THEOREME ISABEL. 35g
La courbe = o etant une courbe adjointe, on n'a pas a s'occuper des zeros de f 'y qui correspondent a des points singuliers de f — o et qui donneraient des residus nuls; on sait d'ailleurs que les autres zeros de f annulent x' z — z' x\ il n'y a done a former que les residus qui correspondent a des zeros (3 de z.
Avant d'aborder la question a ce point de vue general, nous enoncerons les propositions qui, d'apres les principes poses dans la premiere Partie, se deduisent immediatement de la forme de ®(t).
I. La somme des arcs interceptes sur une courbe de direction par deux courbes quelconques de meme degre et n'ayant, avee la premiere, aucune direction asymptotique commune est nul/e, si,parmi les courbes du faisceau determine par ces dernieres, il en est une qui admette pour asymptotes toutes les asymptotes de la courbe de direction.
La somme des arcs interceptes sur une courbe de direction par deux courbes quelconques, ayant les memes asymptotes, est nulle, pourvu que les courbes secantes n'aient, avec la proposee, aucune direction asymptotique commune.
Pour completer ces propositions, il reste a examiner le cas oil toutes les courbes du faisceau secant, F — acp = o, passent par un ou plusieurs points a Tinfini sur la courbe/ j= o.
Si ¥(t) admet q fois le zero |3, il faudra, pour que ^ n'annule pas le denominateur de &(t), que cp(i) admette q -+- 2 fois ce zero; ce cas se presente en particulier si o(x, y, z) est de la forme zg+2^>t{x, y, zY Par suite :
La somme des arcs a distance Jinie interceptes sur une courbe de direction par deux courbes de mime degre ayant, avec la premiere, des contacts a"ordre p{, p.2, ... en des points as, a2, ... a Vinfini, est nulle, si, parmi les courbes du faisceau determine par les courbes secantes, il en est une qui ait, avec la courbe de direction, des contacts dordre p{ -h 2,p.2 -+- 2, ... aux points a{, a2, ....
Cetle somme est nulle, en particulier , si les deux courbes secantes ont entre elles, en tous leurs points a Vinfini, un contact d'ordre p-h2, p designant le plus grand des nombres p{,p2, ....
Intersection d'une courbe de direction et d'un faisceau de courbes asymptotiques.
48. Avant d'examiner le cas general, oil les courbes du faisceau secant sont quelconques, il nous sera utile d'etudier, avec quelques details, le cas ou ces courbes sont asymptotiques entre elles, c'est-a-dire le cas oil cp(#, y, z) est de la forme scp, (x, y, z), <p, etant un polynome de degre m — i .
La fonction &(t) s'ecrit alors
^{x'z—xz')
Supposons que la courbe F = o ne passe par aucun des points a l'infini sur f — o. Les points a 1'infini sur la courbe f — o peuventetre des points ordinaires, a tangente distincte ou non de la droite de 1'infini, des points multiples a branches separees ou tangentes entre elles. Soit (3 1'argument de Tun de ces points.
Si le point est simple, ft est un zero simple de z(t)\ on peut, d'ailleurs, supposer que les axes des coordonnees \ et r\ ont ete choisi^de facon que la courbe /'= o n'aitaucun point a 1'infini dans la '^jlfection de ces axes ; alors ety(fi) ne sont pas nuls. On a, en ce cas, pour le residu '
Si le point est simple et si la droite de 1'infini a en ce point, avec la courbe, un contact d'ordre p, (3 est un zero d'ordre p -v- i de^z-(t) et Ton a
Si le point est un point multiple d'ordre h a branches separees, les h valeurs de 1'argument qui lui correspondent sont distinctes et le residu qui correspond a chacune d'elles a la meme forme que dans le cas du point ordinaire ; si plusieurs branches de la courbe sont tangentes entre elles au point [3, p -+ i valeurs de 1'argument sont egales, et Ton
SUR LE THEOREME d'abEL. 36 I
a pour le residu correspondant la meme expression que dans le cas du point oil la droite de I'infini a un contact d'ordre p avec la courbe.
Dans tons les cas, on a, si [3 esl l'argument d'un point a Tinfini sur la courbe/" = o,
Or la relation
yz' — zy' xz' — xz'
donne, dans tous les cas, pour t = (3, puisque ;r((3) ety((3) sont differents de zero, et que z(t) est de la forme (t — f^)7-,, ^, ne s'annulant plus pour t == (3,
U'Jp
On en tire
et par suite les deux expressions donnees pour r$ deviennent
On devra donner au radical clans ces expressions, le signe de -^pour
Jy
Gette valeur de t annulant z, il resulte des expressions precedentes que la valeur de r$ ne depend, en supposant que les courbesE = o et f , — o ne passent pas simultanement par le point (3, que de la valeur de
^((3), c'est-a-dire de la direction asymptotique correspondante, et du
signe de 4 pour t — (3.
Jy
Or, d'une maniere generate, on a, sur une courbe de direction,
ds= f, dl, Jy
et le sens de Tare elementaire, par suite aussi celui de la tangente qui
est le meme, est determine par le signe de %; inversement, si, en deux
Jn
OiUVHES DE O. HUMBERT, T. I. 46
OEUVRES DE C.EORfiES HUMBERT .
points a et b situes sur une meme courbe dc direction ou sur deux courbes de direction differentes, les tangentes sont paralleles et de
meme sens, les valeurs de — auront le meme signe pour les deux courbes. En particulier, le signe de % sera le meme, en un point a
Jy
l'infini, commun a deux courbes de direction, si les asymptotes correspondantes des deux courbes sont paralleles et de meme sens.
11 resulte de cette discussion que les valeurs des residus r$ ne changent pas si Ton remplace la courbe f—o par une autre courbe de direction de meme degre, ayant scs asymptotes paralleles a cclles de la premiere et de meme sens.
On peut, en particulier, choisir la courbe formee par les semi-droites menees par un point quelconque parallelement aux asymptotes de f = o, et de meme sens que ces asymptotes : nous dirons que ce faisceau de semi-droites est asymptotique a la courbe de direction.
Si la courbe f=6 a en un point un contact d'ordre q avec la droite de l'infini, ou si elle a en un point multiple a l'infini q -+- i brandies tangentes entre elles, et correspondant a une meme valeur de t, le faisceau de semi-droites asymptotiques comprendra q -+- 1 droites paralleles a la direction asymptotique correspondant, et toutes de meme
sens. Ce sens est, en eff'et, determine parle signe de %> fonctionqui n'a
Jy
evidemment qu'une seule valeur pour la valeur unique de t qui correspond au point ou aux branches considerees.
Remarquons enfin que, dans tons les cas, et quelle que soit la nature du point a l'infini d'argument [3, /^estnulsi ce point est l'un des points cycliques du plan : il n'y aurait d'exception que si F s'annulait pour t = (3, c'est-a-dire si toutes les courbes du faisceau secant passaient par le point considere, cas que nous avons ecarte.
