De cette discussion resultent les theoremes suivants
II. La sornme des arcs inlerccptes sur une courbe de direction par deux courbes asymptotiques quelconques est egale a la somme des segments interceptes par les memes courbes sur tout faisceau de semi-droites asymptotiques a la premiere.
Si la courbe de direction ne louche pas la droite de Pin/ini, la somme
des arcs intercepts est egale a la somme ties segments intercepted sur les asymptotes.
La somme des arcs inlerceptes par deux courbes asymptotiques sur une courbe de direction, qui n'a pas d autres points a Vinfini que les points cycliques clu plan, est toujours nulle.
On suppose, danstous ces enonces, que les courbes secantes n'ont aucune direction asymptotique commune avec la courbe de direction consideree.
50. De ces theoremes decoule immediatementla solution du probleme suivant :
Trouver toutes les courbes de direction sur lesquelles la somme des arcs inlerceptes par deux courbes asymptotiques est toujours nulle ( ' ).
Pour qu'une courbe de direction jouisse de cette propriete, il faut et il suffit, d'apres ce qui precede, que les directions asymptotiques non isolropes soient deux a deux paralleles et de sens contraire.
Cette condition est remplie en particulier, comme on 1'a dit plus baut, si la courbe n'a pasd'autres points a l'infini que les points cycliques.
En deliors des points cycliques, qui pourront etre des points simples ou multiples de la courbe, tous les autres points a l'infini devront etre des points multiples, d'ordrepair. Si l'un de ces points est a branches separees, et d'ordre ip, p des asymptotes correspondantes devront etre de sens oppose aux p autres. Si le point a p branches tangentes entre elles etformantun cycle (2), c'est-a-dire correspondant a la meme valeur de t, il faudra que les asymptotes relatives aux/? autres branches soient de sens oppose al'asymptote relative au cycle. Enfin, si la courbe a en un point avec la droite de l'infini un contact d'ordre p pour une de ses branches, il faudra qu'une autre branche ait au meme point avec la meme droite un contact du meme ordre, et que les directions asymptotiques qui correspondent aux deux branches soient de sens contraire.
(') Les courbes secantes sonl supposees n'avoir aucune direction asymptotique commune avec la proposee.
(2) Nous appellerons cycle, d'apres M. Halphen, l'ensemble des branches d'une courbe qui correspondent, en un point de cette courbe, a une meme valeur de la variable auxiliaire, a I'aide de laquelle les coordonnees sont exprimees d'une maniere uniforme aux environs du point considere.
51. Les plus interessantes des courbes que Ton vient de rencontrer sont celles qui ne rencontrent la droite de l'infini qu'aux points cycliques; elles presentent d'ailleurs, dans la categorie des courbes de direction, une grande generality, puisquc les transformees par rayons vecleurs reciproques d'une courbe de direction quelconque a partir d'un point non situe sur cette courbe sont des courbes de direction (n° 43) n'ayant pas d'autres directions asyniptotiques que les directions isotropes. Une courbe de direction quelconque donne ainsi naissance a une infinite de courbes de la classe qui nous occupe.
Cette propriete permet de definir analytiquement ces courbes; elles sont l'enveloppe des cercles
(9) ul + <'*> = M£2 + ri>),
X etant une constante, et u, v deux parametres lies par une relation de la forme
(to) («5+^2)F2(m, i>) = f*(u1 »').
Cette relation est en effet ('equation tangentielle generale des courbes de direction, et le cercle (9) est la transformee par rayons vecteurs reciproques, a partir de l'origine, de la tangente u\ -+- vr\ + i^=o. II faut toutefois que la courbe representee parl'equation tangentielle (10) ne passe pas par l'origine.
Courbes cycliques de direction.
52. Les courbes de direction qui ne coupent la droite de l'infini qu'aux points cycliques du plan, etque nous appellerons, pour abreger, courbes cycliques de direction, presentent une particularity analytique remarquable et dont les consequences geometriques ont un grand interet : c'est que la fonction <\>(x, y, z) correspondante est generalement de la forme ztyt, la courbe ^, = 0 etant une courbe adjointe
de la courbe de direction consideree, et la fonction ^1 restant par suite
■ • i-ii
finie aux points multiples de cette courbe.
Supposons d'abord que la courbe cyclique f=o, de dcgre 2V, ait
en cliacun des points cycliques I et J un point multiple d'ordre v, a
SUR LE THEOREME d'abEI..
branches separees, et qu'elle ne touche pas la droite tie l'infini. Soient a,, «j av les valeurs de I'argument qui correspond aux v branches passant par I. Les courbes /',. = o, fv '— o ont en 1 un point multiple d'ordre v — i, et par suite les fonctions de t, fx et f* admettcnt v — j fois chacun des zeros a,, <x.2, . .., ocv. 11 en est de meme de la fonction en vertu de I'identite
Mais de plus la fonction ^s'annule pour / = a,, a2, . . . , av. On a en
Jr
efi'et, com me on l'a vu plus haut,
fl- = fr .
yz'—zy' z.x' — xzn
d'ou Ton tire
z"-(x* + j2) — izz'jxx' + vy') + z2(^ + ya) //.* — {z'x — x'zY2
Par hypothese, z'(t) ne s'annule pas pour I = a,, .. . ,av, puisque la droite de l'infini ne touche pas la courbe /=o; le denominateur de l'expression precedente n'est done pas nul, tandis que le numerateur est nul, en meme temps que z et r+j2. On en conclut que •]> admet au degre v de multiplicite au moins les zeros a,, a2, av, ce qui ne pent se faire que si la courbe ']/ = oa un point multiple d'ordre v en I. Le meme raisonnement se repete au point J, et, comme ^ est de degre 2 v — i , la courbe '\> = o se decompose en la droite de l'infini et en une courbe de degre 2v — i, ayant un point multiple d'ordre v — i en chacun des points I et J. C'est la proposition qu'il s'agissait d'etablir.
Ce theoreme peut cesser d'etre vrai si la courbe/ = o a, aux points I et J, des branches tangentes entre elles et correspondant a une meme valeur du parametre, ou si elle touche la droite de l'infini.
Soit en effet a une des valeurs de I'argument qui correspondent au point I ; on aura, en posant t — a == t, dans les environs du point a,
f S = CZ'I + C1T'/+1 + . . .,
(12) lx=p + azr + &i zr+* -)-...,
[ y = pi + bzr -+- 6, t',+1
d'ou
x -+- yi = Ats+ A'ts+1 + . . . , s etant au moins egal a r.
Si la tangente correspondante o'est pas la droite de 1'infini, ce sera, par un choix convenable de l'origine des coordonnees, la droite x -+■ yi = o, et la quantite s sera superieure a q. L'ordre du cycle forme par les branches considerees sera q; la classe sera s-q('). Dans
l'expression donnee plus haut pour ^ on voit qu'au numerateur le
Jy
terme de moindre degre en t sera de l'ordre de -2<7-2+*, et an denominates de l'ordre de x2q~2; par suite, j£ sera de l'ordre de t*; lecoef-
Jy
ficient du terme en is est d'ailleurs esral a
7 rL/ J<72c2//2'
il n'est pas nul, car q est, par hypothese, inferieur a s. II en resulte
que s est necessairement pair, et que la fonction ~ admet le zero a an
degre $- de multiplicity. Par consequent la valeur de pour t=u. dependra du signe de q — ^> c'est-a-dire de la demi-difference entre l'ordre et la classe du cycle considere. Dans le cas particulier oil l'ordre est egal a la classe, ^ reste fini pour t=a.\ c'est precisement ce que nous avons verifie plus haut pour le point multiple a branches separees ; ^jr s'annule pour t = a si la classe du cycle est superieure a son ordre; enfin ^ devient infini pour t= a si l'ordre est superieur a la classe.
Si Ton suppose que la tangente correspondant au cycle a est la droite de 1'infini 2 = 0, on aura q > .y; l'ordre du cycle sera s, sa classe q — s.
L'expression ^^sera toujours de l'ordre de is et par suite a sera, pour la fonction -^7, un infini d'ordre egal a q — -> c'est-a-dire la somme de
Zfy 6 7 2
(') L'ordre d'un cycle est, d'apres M. Halphen, le nombre de points confondus avec l'origine de ce cycle dans le nombre total des points d'interseclion de la courbe et d'une droite differente de la tangente au cycle; si cette droite est la tangente, le nombre des points d'intersection confondus avec l'origine du cycle est egal a la somme de l'ordre et de la classe de ce cycle.
SUR LE THEOREME d'aHEL. 36~
la classe et du demi-ordre du cycle considere. Cet ordre devra etre pair, et, en aucun cas, ^ ne peut rester fini pour / = a( 1 ).
zJy
Intersection d'une courbe cyclique de direction et de deux courbes quelconques.
53. La propriete de la fonction ^, dans le cas ou la courbe cyclique de direction n'a, aux points I etJ, que des branches distinctes, et ne touche en aucun de ces points la droite de l'infini, permet d'exprimer simplement la somme des arcs intercepts sur cette courbe par deux courbes quelconques de degre m.
II s'agit, en elfet, d'evaluer les residus par rapport aux zeros de z(t) de la fonction
Or, d'apres l'hypothese, ^ reste fini pour tout zero, (4, dez(i), et Ton a, pour le residu correspondant a ce zero, qui est un zero simple de z,
/ <Sj X I \
Pour calculer ^> reportons-nous aux relations (n) et (12). Dans
ces dernieres, on devra supposer, x designant la quantite t — p, que q estegal a 1, et s au moins egal a 2.
Soit d'abord s — 2, ce qui est le cas le plus general ; la tangente a la branche (3 au point cyclique correspondant, I, a un contact simple avec cette branche.
On a done
z — CT -4- C,T2 4- . . . , a; -f- y i — At2 4- A,t3 + . . . , x — yi~ 'ip -t- Bt
(') s etant pair, il y a au moins deux branches du cycle (angentes a la droite de l'infini ; il en resulte que les courbes cyeliques de direction, dont les branches a l'infini sont distinctes, ne touchent pas la droite de l'infini.
Portant ces valours dans (i i), on a
J,s -2c!A/j:2 + ... „ fx<h\ — ?.A«
7T2 = — Fl ' doii
Or, si Ton considere la courbe definie par les relations
r z — ct, < .r + j / = At1,
t designant un parametre variable, on voit que cette courbe est un
cercle
et que ce cercle a au point cyclique I un contact du second ordrc avec la branche de courbe (3. La courbe de direction etant supposee reelle, ce cercle aura egalement un contact du second ordre avec une des branches de la courbe au point cyclique J. Soit R son rayon ; on a
Or, si dans la fonction &(t) on avait considere x, y, z comme representantles coordonnees, non plus d'un point de la courbe de direction, mais d'un point du cercle, on aurait trouve de meme, pour le residu correspondant a la valeur t = o,
Le signe sera le memo que celui de r$, si Ton donne au cercle le
sens meme de la branche qu'il oscule; quant a la quantite - — u, elle
est la meme dans r et dans rp, puisqu'elle est egale a *' — u. II n'y aurait d'exception que si les deux courbes F — o et <p = o passaient toutes deux par le point I.
SUn LE THEOHEME d'aBEL. 369
54. De eette discussion resulte immediatement la proposition suivante :
III. La somme des arcs interceptes sur une courbe cy clique de direction, a branches cycliques distinctes, par deux courbes quelconqucs de meme degre, est egale a la somme des arcs interceptes par ces m&mes courbes sur les cercles qui osculent a Vinfini les branches de la courbe primitive.
II faut, toutefois, que les courbes secantes ne passent pas simultanement par les points cycliques.
On arriverait a une conclusion analogue pour les courbes a branches
tangentes entre elles a Finfini, dans le cas ou^reste fini et different
zJy
de zero pour 1'argument correspondant, c'est-a-dire dans le cas oil la classe du cycle forme par ces branches est egale a son ordre.
55. Ces resultats vont nous permeltre de determiner toutes les courbes de direction sur lesquelles la somme des arcs interceptes par deux courbes quelconques de meme degre est toujours nulle.
A priori, il est clair, d'apres la theorie des integrates abeliennes, que ces courbes sont celles dontl'arc s'exprime par une integrate abelienne de premiere espece appartenant a la courbe; les courbes cycliques de direction peuvent seules jouir de cette propriete.
En effet, soit ds - — dt la differentielle de Tare; les infinis
de ^ ne peuvent etre que les zeros de z'- ; or, pour que ^ reste fini pour z = o, il faut que ^ s'annule; mais nous avons trouve que, pour une valeur (3 de t annulant z, on avait
II est done necessaire que la courbe n'ait pas a l'infini d'autres points que les points cycliques.
Si maintenant a est un argument correspondant a un de ces points I, et si Ton designe par o et y le degre et la classe du cycle relatif a cet argument, on sait que ^ admet a pour zero au degre de multiplicity
la quantite "x ^ x~ admet a comme infini simple; il en resulte,
CEUVRBS DE O. HUMBERT, T. I.
puisque est necessairement entier, que ^ resle fini pour t — a, si
l'ordre du cycle est inferieur a sa classe. Dans le cas ou la branche est simple, o == i, il faut que y soit superieur a i, c'est-a-dire que la tangente. a la branche soit d'inflexion; comme d'ailleurs y devra etre egal au moins a 3, la.tangente aura un contact du troisieme ordre an moins avec la branche. 0
