SUB. LE TMEOKEME I)' ABEL
toujonrsde reconnailre facilement si une coiirbc donnee rentre ou non dans la categorie qui noiis occupe ; maisellene se prete pas simplement a former l'equation ponctuelle ou tangentielle generate de toutes les courbes de cette categorie.
Les plus simples de ces courbes ne peuvent etre que du quatrieme degre au plus. Si, d'ailleurs, il existait une courbe cyclique de direction de ce degre, on obtiendrait, en la transformant par rayons vecteurs reciproques a partir de l'un de ses points, une courbe de direction du troisieme degre passant par les points cycliqnes, courbe que nous savons ne pas exister.
Ce n'est done pas avant le sixieme degre que nous devons chercher une courbe jouissant des proprietes indiquees.
58. Prenons la transformer par rayons vecteurs reciproques, a partir de l'origine, de la courbe de direction du troisieme ordre,
p3cos 3 co — a6,
nous trouvons
p:! — a3 cos 3 w,
e'est-a-dire
Soit C cette courbe du sixieme degre, qui est evidemmentune courbe cyclique de direction; pour l'etudier aux points i et J, posons
Y ----- * yi-
Son equation devient
Sous cette forme, on voit que les trois tangentes aux points X = o, z = o sont les droites
qui sont distinctes; une quelconque de ces droites coupe la courbe en six points confondus aux points X = o, z — o; elle a done un contact du troisieme ordre avec la branche qu'ellc touche.
II en resulte que Tare de la courbe C est exprimable par une integrate abelienne de premiere espece appartenant a la courbe.
Cette cmrbe a la forme indiquee ci-dessous. Un cercle la coupe aux points cycliques et en six points a distance finie; ces six points coin- Fig. 4.
cidentavec I'origine, si le cercle considere est le cercle de rayon mil ayant I'origine pour centre.
On deduit de la, en particulier, la propriete suivante :
Un cercle passant par le point triple reel 0 coupe la courbe en trois autres points a distance jinie A, B, C. Le plus grand des arcs OA, 013, OC, sur la courbe C, est egal a la sommedes deux autres.
Cette propriete permet aisement, si Ton suppose la courbe tracee, de porter sur cette courbe, a partir d'un point donne, un arc egal a la somrae ou a la difference de deux arcs don ires sur la courbe par leurs extremites.
Remarque. — La courbe C est de genre un, puisqu'elle est la transformer par inversion d'une courbe de ce genre; les coordonnees de ses points sont done des fonctions doublement periodiques d'un parametre u, etl'arc doit etre proportionnel a ce parametre. On peut le verifier aisement en partant des expressions donnees au n° 46.
M. W. Roberts avait deja observe que l'arc de cette courbe s'exprime par une integrate elliptique de premiere espece {Journal de Mathe-
SUIl EE THEOTIEME ISABEL. ) - '.
matiques pures el appliquees, t. XII), mais sans remarquer quecctte integrale appartient a la courbe.
59. On prouverait de la meme maniere que les courbes dont 1'equation polaire est,, en designant par n un entier superieur a zero,
p2"+» = a2»+'cos (2/i + i)oj {n^i)
sont des courbes cycliques de direction, jouissant de la propriete que la somrne de leurs arcs compris entre deux courbes quelconques de memo degre est toujours nulle.
En premier lieu, ce sont bien des courbes de direction, car on a
ou, si /(£, y)) = o est l'equation de la courbe,
expression qui est bien une differentielle abelienne appartenant a la courbe.
Ce sont ensuite des courbes cycliques; car leur equation, en posant toujours
\ = x-hyi, Y=zx — yi,
peut s'ecrire ,
X^n+i Yln+1 = - a2"+1 ( X2"-*-1 ■+- Y'l+t )
et Ton voit de plus que les tangentes au point X = o, z — o sont distinctes et ont avec la branche de courbe qu'elles touchent un contact d'ordre 2/1 + 1. Par consequent, si n est au moins egal a 1, la proposition est demontree.
Ces courbes interessantes ont ete etudiees par de nombreux geometres, parmi lesquels on doit citer notamment Maclaurin, Euler, L'Hopital, Fagnano, Riccati, Lame, Serret; MM. 0. Bonnet, Halphen, Haton de la Goupilliere, W. Roberts, et Fouret; la propriete qu'on vient d'etablir nous parait completer utilement les propositions qu'on a donnees sur les arcs.
60. Les beaux travaux de M. Halphen sur ces courbes vont nous permettre d'etendre ces considerations.
Soit la courbe cyclique
p*= cos koi,
ou Ton a k — %* f-et s etant deux nombres positifs premiers entre eux. Elle sera de direction si sa polaire reciproque par rapport a un cercle de rayon un, concentrique a l'origine, est ce que M. Ilalphen nomme une courbe de premiere categoric, c'est-a-dire, comme l'a fait voir ce
seometre, si le denominateur de la fraction irreductible — - — ou — —
est pair. En d'autres termes, la courbe sera de direction si q et s sont impairs.
L'ordre des cycles a rinfini, aux points I et J, est, comme on le voit tres facilement en appliquant les methodes de M. Halphen, egal a s; la classe est egale a q. Done, si q^> s, l'arc de la courbe s'exprimera par une integrale abelienne de premiere espece, appartenant a la courbe.
Par suite :
L'arc de toutc courbe representee en coordonnees polaires par une equation de la forme
p2«+1 = Acos^-^,
oil p etq sont deux ntiers non negatifs, tels que la fraction ^p ^ | soit irreductible, s'exprime par une integrale abelienne de premiere espece appartenant a la courbe, sip est plus grand que q.
Ges courbes jouissent done de la propriete fondamentale signalee aux nos 55 et 56.
61. Nous allons maintenant indiquer une classe tres generate de courbes de cette nature, en nous appuyantsur le caractere geometrique qu'elles doivent presenter aux points I et J.
Soit S une courbe quelconque de direction, ne passant par aucun des points cycliques; appelons 0 un point du plan exterieur a S.
La transformee de S par rayons vecteurs reciproques a partir de 0 est une courbe cyclique de direction S'; cherchons quelles sont ses tangentes aux points I et J.
Soit m un point commun a S et a la droite OJ; le point transforme
SUR LE THEOREME n'ABEL.
de m sera le point J, et la tangente en J a la branche correspondante sera la droite transformee de la droite \m : ce resultat est connu par la theorie generale de 1'inversion. Pour que cette tangente a S' en J ait avec la branche correspondanle un contact du second ordre au moins, il faut et il suffit que la droite Im ait en m, avec la courbe S, un contact du premier ordre au moins.
La courbe S' n'auradonc, a l'infini, que des tangentes inflexionnelles si, en tous les points supposes simples des droites 10 et JO, les tangentes a S passent respectivement par les points J et I.
Si cette condition est remplie, on aura, en posant X = x -+- iy, Y = x — iy et en designant par /(X, Y, z) = o l'equation de S,
et, reciproquement, si f% et f'K sont divisibles respectivement par X et Y, la condition sera remplie.
Or, pour que la courbe F(a?, r, z) — o soit de direction; "\\ suffit qu'on ait identiquement
si Ton pose
X = <r + 71, -Y — a? — y-iy
et si F(x, y, z) devient, par cette substitution, /(X", Y, z), on aura
On aura done une courbe de direction S, de I'espece eherchee, en posant
A - WMY ',
o(X) etant une fonction entiere de X. La meme fonction doit figurer dans/v pour que la courbe ¥(x, y, z) soit reelle. On aainsi, pour equation de S,
-•..••o—S=±: f ■'■X*Y(X)dX^f- YY'(Y■)tfY•rt;•-•■
i — Jf) ......
A el ant une constante difFereiUe de zero, et la courbe S'.s.era la transformeejjar rayons vecteurs reciproques de S a.partir de I'origine.
Soit pose
X2cp2(X) = rtXi+6X.3+cX4 + ...+ /Xs\
on aura
ou en coordonnees polaires, en posant \ = p cos co, yj — p sin to, d'ou
X — p (cos co + « sin co), Y = p(cos co — < sin w),
il viendra
ah I
S — - p3cos 3to + - p4cos4 to + . . . h p2v+1cos(2v + i)w + A.
On peut mettre I'equation de la courbe sous la forme definitive
(S) OtO3 COS 3 to -+- (3p4 COS 4 to + . . . -t->ip!v+1 COS (2 V -+- I ) to = /J.,
a, (3, . . ., ^ sont des constantes, telles que la derivee, par rapport a p, de la fonction
ap3+ f3p' + . . . -H^p2^1
soit le carre parfait d'un polynome entier en p.
La transformee de S par rayons vecteurs reciproques a partir de 1'origine a une equation de la forme
(S') ap2v-2cos3w + (3p2v-3cos4w +. . .-t-Acos(2v + i)to = pLp2v+1,
et son arc est exprimable par une integrate abelienne de premiere espece si la derivee, par rapport au parametre, de la fonction
est le carre d'un polynome entier en 0.
On obtient ainsi une classe etendue de courbes satisfaisant a la condition proposee; en particulier, si Ton suppose tous les coefficients a, (3, ... nuls, sauf A, on trouve les courbes pav+1 = A cos(2v -h i )co, deja rencontrees.
Intersection d'une courbe de direction quelconque et de deux courbes algebriques.
62. Revenons maintenant au probleme general de 1'evaluation de la somme des arcs intercepted par deux courbes de meme degre sur une
SUR LF. TIltOREME T)'AREL. 3
courbe cle direction quelconque; nous trouvcrons encore des resultats simples dans le cas oil la courbe considered n'a, a I'infini, que des points simples on des points multiples a branches distinctes, et si elle ne touche pas la droite de I'infini.
Soit [3 l'argument d'un point a I'infini sur cette courbe f — o, de degre n : par hypothesc, (3 est un zero simple de z(t).
On a toujours
, di x' z — xz' Pour trouverle residu rp, ecrivons
9">= /F NrfiF
Posons t — (3 = t; on a, en designant par a?0, x'0, ... les valeurs de x, x\ ... pour t = o,
g = ar.+ Ta^ + . . . = jgr ■ ^
Lc coefficient de l- dans le developpement de ®(t) sera done egal a — —, > multiplie par la valeur de la derivee par rapport a t de la fonction
— r-,pourT = o : cette fonction ne s'annule pas, en effet, pour
t — o, si le point considere n'est pas un des points cycliques du plan. On a ainsi
- x0 i (F>~ Ftp')2
/ F \ \fy)o *'o U'jo (F — "?)o
Je dis que le premier terme de rp est nul pour t = (3. On a, en effet, d'oii
etje dis que la derivee de 4> par rapport a /, s'annule pour / = (3.
Jy
(EUVHES 1)1! G. HUMBERT, T. I. 48
On peut toujours supposcr que les axes de coordonnees ne sont
paralleles a aucune des asymptotes de la courbe f —Q\ le rapport*^,
Jy
reste done fini pour t — [3. Pour montrer que la derivee de % s'annule
Jy
pour cette valeur, il suffit done, en vertu de la relation precedente, de
faire voir que la derivee de J-f, s'annule.
Jy
Or on a
fl.yz'-y'z
et
zb.
dt /,'. (zx'~ z'x)2'
etant pose
Si Ton fait, dans cette relation, t = ft, il vient, puisque z(fi) = o, et que, par suite de l'liypothese, -'(P) nest Pas nuh ~Tffy — °i e^ ' on
Jy
a, par consequent,
x<b F'cp — .Fee' '
F' et cp' designent les derivecs de F et 9 par rapport a t. Or on a
mF =FiaJ +F' / -+- F'3 z ,
mcp = <p'cj: + cpV/ + <p'i,
m etant le degre des courbes F = o , cp= o. On tire de la
m(F9-F9') = (xy'-yx')(9'.v F'x - <pj. ft ) + . . . ,
et, a cause des relations xf'x + yf'y-\- zf'. — o; x'fl+yf'y + z'f'z — o, il vient
m (F'cp - Fcp') —7^-7- = /. ( 9'J'y- ?,) + •••= J.
en designant par .1 la jacobienne des trois fonctions /, cp et F. On tire de la
rp~ •L'»/;2(F-«?)!!Jp"
Le second membre est une fonction de -> e'est-a-dire de la direction
SUR LE THEOREMS Ti'abEL. 3^9
du point a l'infini considere; les derivees de la fonction f, par rappoil a x, yet z, n'y figurent que par leurs rapporls, car <\>. est de la forme
^P' Ct 1 de ,a f°rme A/-~l"B/r+C/^ II en resulte que la valeur de rp ne change pas si Ton remplace f par une autre courbe passant par Ie point a l'infini considere et ayant meme tangcnte en ce point; par consequent, 2>p ne change pas si Ton remplace la courbe f=o par le systeme de ses asymptotes. Done on peut enoncer ce theoreme :
V. Soil C une courbe de direction ne passant pus paries points cy cliques, ri ayant a l'infini que des points simples ou des points multiples a branches dislinctes, ct ne touchant pas la droite de Cinfini; la somme des arcs interceptes sur C par deux courbes quelconques de meme degre est Sga/e d I a somme des segments que ces courbes interceptent sur les asymptotes de C.
On peut citer comme exemple de ce genre de courbes celles qui ont pour equation
p2"+1 cos(2« + \ )<s) — a-n+\
ou n est un entier non negatif.
En combinant ce resultat et celui des nos 53, 54, on arrive a la proposition generale suivante :
VI. Soil C une courbe de direction n ayant a l'infini que des points simples ou des points multiples a branches distinctes, ne touchant pas la droite de Vinfiniet admettant comme point multiple d'ordre \j, chacun des deux points cy cliques; la somme des arcs interceptes sur C par deux courbes quelconques de mime degre est egale a la somme des arcs que ces courbes interceptent sur les asymptotes non isotropes de C et sur les cercles qui osculent respectivement a Vinfini les branches cycliques de cette courbe (' ).
63. Nous terminerons ce Memoire en enoncantquelques propositions qui sont relatives aux centres de gravite des arcs interceptes sur certaines courbes cle direction par des courbes de meme degre, et qui
(') Dans ces enonces, on suppose toujours que les courbes secantes ne passent simultanement par aucun des points a l'infini de la courbe de direction.
38o OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.
se demontrent sans difficulte en appliquant la formulc fondamentale aux integrates j^^dset J'zds.
I. Les arcs intercept's sur une colirbe de direction par deux courbes de meme degre, osculatrices entre elles en lous leurs points a Vinfini, ont une somme algebrique nulle; de plus, le centre de gravite des arcs complcs posilivement dans cette somme coincide avec le centre de gravite des arcs comptes negalivement.
II . Les arcs interceptes sur une courbe cy clique de direction par deux courbes ay ant les memes asymptotes ont une somme algebrique nulle, et le centre de gravite des arcs positifs coincide avec celui des arcs negatifs.
On suppose dansces enonces que la courbe de direction n'a avec les courbes secantes aucune direction asymptotique commune.
Comme application du dernier theoreme, on a une propriete simple des centres de gravite des arcs d'un cercle compris entre deuxconiques ayant memes asymptotes.
III. Les arcs interceptes sur une courbe de direction par deux courbes quelconques de meme degre ont une somme algebrique nulle, et le centre de gravile des arcs positifs coincide avec celui des arcs negatifs, si la courbe de direction consideree est une courbe cyclique, n ayant a Cinfini que des cycles dont la classe surpasse le triple de l ordre.
Exemple. — La courbe de direction est une des courbes
ip ■+- 1
0 ' = A cos
p et q etant deux nombres entiers, non negatifs, tels que la fraction ^ ^ t' soit irreductible, et que p soit superieur a 3q -+- 1 . En particulier, on aura dans cette classe les courbes
p etant un entier au moins egal a 2.
