COURBES CYCLIQUES DE DIRECTION
(Journal de Math., 4e serie, t. IV, 1888.)
Dans notre Memoire sur Ie theoreme d'Abel, nous avons enonce, relativement aux courbes cycliques de direction, la proposition suivante :
La somme des arcs intercepted sur une cottrbe cyclique de direction, a branches cycliques distinctes , par deux courbes quelconques de meme degre, est egale a la somme des arcs interceptes par ces memes courbes sur Irs cercles qui osculent a l'in/ini les branches de la courbe primitive.
Pour demontrer ce theoreme, nous avons admis qu'un meme cercle reel osculait a l'infini. deux branches conjuguees de la courbe primitive; mais, en general, line courbe cyclique n'admet pas de tels cercles biosculateurs, et le theoreme precedent doit subir, pour s'appliquer a tous les cas, une legere modification.
Parmi les cercles qui ont pour centre un foyer singulier reel d'une courbe reelle* et qui touchent tous, en chacun des points cycliques I et J, une branche de cette courbe, il en est un qui oscule la branche correspondant au point I, et un autre, imaginaire conjugue du premier, qui oscule la branche correspondant au point J. Si ces deux cercles coincident, on est en presence d'un cercle biosculateur ; s'il en est autrement, designons par R -f- RY et R — R'i leurs rayons, et appelons cercle focal le cercle, concentrique aux precedents, et de rayon R. On arrive alors sans grande difficulte, en appliquant les principes etablis dans le Memoire sur le theoreme d'Abel, au resultat suivant :
La somme des arcs interceptes sur une courbe cyclique de direction
reelle, a branches cy cliques distinctes, par deux courbes quelconques de meme degre, est egale a la somme des arcs interceptes par ces mimes courbes sur les cercles focaux de la courbe primitive.
La meme modification doit etre introduite dans le theoreme YI du n° 62.
A cette occasion, nous completerons les resultats que nous avons donnes, relativement aux courbes cycliques de direction a branches cycliques distinctes, et ne touchant pas la droite de l'infini, par les remarques suivantes :
Si Ton considere la somme algebrique des arcs interceptes sur une de ces courbes par les deux cotes d'un angle a, elle sera egale, d'aprcs le theoreme precedent, en appelant R,, R2, ... les rayons des cercles focaux, a a£R,, les rayons etant alfectes de signes convenables, determines par le sens dans lequel sont decrits les cercles focaux. On voit que cette somme est independante des positions respectives de la courbe et de Tangle, et Ton generalise ainsi la propriete bien connue du cercle relative a la mesure des angles :
La somme des arcs interceptes sur une courbe cyclique de direction reelle, a branches cycliques distinctes, par les deux cotes d'un angle, est proportionnelle a la valeur de cet angle, el independante de sa position dans le plan.
La somme des arcs interceptes sur une courbe cyclique de direction par deux courbes asymptotiques etant toujours nulle (50), on voit egalement que :
La somme des arcs interceptes sur une courbe cyclique de direction reelle, a branches cycliques distinctes, par deux courbes quelconques de meme degre, est independante de la position de la courbe cyclique par rapport aux deux courbes secantes.
Car on peut remplacer chacunc de ces dernieres par le faisceau des droites menees d'un point parallelement aux directions asymptotiques. Ce theoreme s'applique, en particulier, au cercle.
SUU LES
COURBES ALGEBRIQUES PLANES RECTIFIABLES
(Journal de Math., 4C serie, t. IV, 1888.)
1. Nous appelleronS, a l'exemplc de Serret, courbe algebrique rectijiable toute courbe dont l'arc peut etre exprime par une fonction algebrique des coordonnees; parmi les courbes rectifiables, on peut considerer en particulier cclles dont Tare est exprimable par une fonction rationnelle des coordonnees. Cela pose, les problemes que nous aborderons dans ce travail sontles suivants :
1. Determiner loutes les courbes algebriques planes rectifiables, et trouver la forme de V equation qui lie l'arc aux coordonnees.
It. Determiner toules les courbes algebriques planes, dont rare est une fonction rationnelle des coordonnees.
Nous terminerons en donnant quelques exemples de courbes rectifiables, et en indiquant quelques proprictes relatives aux longueurs de l'arc sur ces courbes.
2. Soit/(a?, y) = o l'equation d'une courbe algebrique : supposons qu'il existe entre Tare s, compte a partir d'un point fixe, et les coordonnees, x, y, de l'extremite de l'arc, une relation algebrique, ¥(s, x,y) — o.
Nous allons montrer que cette equation peut se ramener, dans tous les cas, au second degre par rapport a s.
Cherchons en effet combien de valeurs peut avoir la fonction s quand
on donnc a x et y les valeurs qui correspondent a un j>oint de la courbe /= o.
Rcprescntons sur un plan la variable x, selon le mode ordinaire de representation des quantites imaginaires ; soient x0 et x, deux points donnes de ce plan, y0 et v, deux valeurs de y correspondant respectivement a ces points par la relation f(x,y) = o.
Tous les chemins allant de et tels, qu'en partant de x0 avec
la valeur y0 de la fonction y on arrive en a?, avec la valour y,, peuvent, comme on sait, se ramener a un chemin determine L, allant de x0 en a?,, precede d'un nombre quelconque de cycles, c'est-a-dire de contours fermes, allant de et tels, qu'en partant de ce point
avec la valeur y0 de y, on y revienne avec lameme valeur.
Chercher les valeurs que peut avoir la fonction s pour des valeurs donnees, x, et yt, des coordonnees d'un point de la courbe /=o, c'est chercher les valeurs que prend cette fonction au point a?,, quand on part du point. x0 avec une valeur initiale determinee ^0 et que Ton decrit la ligne L, precedee d'un nombre quelconque des cycles definis plus haut.
Or on a
dx
Soit st la valeur de l'integrale J' ds, suivant la ligne L, quand on
part de x0 avec la valeur j0 de y et un signe determine du radical qui figure dans 1'expression de ds.
Evaluons maintenant cette integrate le long des differents cycles consideres.
Ces cycles se divisent en deux categories : en decrivant un cycle de la premiere categorie, on revient au point x0 avec la valeur initiale du radical \] fx1 ->r f* un cycle de seconde categorie, au contraire, ramene la valeur de signe contraire de ce radical.
Cela pose, je dis que la valeur de l'integrale
Jy
est nulle le long de tout cycle de premiere categorie : si elle etait egale en eflfet a une quantite a, differcnte de zero, l'integrale, en sup-
SUR LES COUUBES ALGEBRIQUES PLANES RECTIFIAKLKS.
posant qu'on decrive m fois le cycle considere, puis la ligne L, prendrait la valeur mv-\-sn et l'arc aurait, pour des valeurs donnees xt, j, des coordonnees, Ies valeurs en nombre infini comprises dans la formule s0-hs, -{-ma. L'arc ne serait done pas fonction algebrique de x, y, contrairement a l'hypothese.
Soit, en second lieu, 2co, la valeur de l'integrale J ds Ie long d'un
cycle de deuxieme categorie : deux cycles de cette categorie decrits successivement constituent evidemment un cycle de premiere categorie, et l'integrale correspondante est nulle; de plus, 2co, est la valeur commune de l'integrale J ds le long de tous les cycles de la seconde espece.
Si done Ton decrit un nombre quelconque de cycles, puis la ligne L, on n'aura, pour la valeur de l'integrale J ds le long de ces chemins, que
deux expressions differentes qui seront s, et 2co, — st : on trouvera s{ si Ton a decrit un nombre pair de cycles de la deuxieme categorie et 2co, — .y, si Ton a decrit un nombre impair de ces cycles.
En d'autres termes, l'arc s n'aura, pour des valeurs donnees de x et y, que deux valeurs, dont la somme ne depend pas des coordonnees x, y; et par suite l'equation algebrique a laquelle satisfait s sera necessairement de la forme
S2 — 2GJ5 + R = O,
R designant une fonction rationnelle de x, y, et to une constante, qui dependdes coordonnees du point origine des arcs.
3. On peut, dans une certaine mesure, preciser la forme de la fonction R(x, y) : on tire en effetde la relation- precedente
s — to =\/w2 — R,
d'ou
En egalant le second membre de cette relation a-r, (fj1 on
Jy
voit que \J(x>2 — R est de la forme
Ol.UVHES DE GEORGES HUMBERT.
P etant une fonction rationnelle dex, y, et l'equation en s devient
4. De cctte equation on deduit que la courbe f = o est la developpee d'une courbe algebrique, et que ces deux courbes se correspondent rationnellement point par point.
Porlons en effet, sur la tangente au point x, y de la courbe f = o, dans le sens de l'accroissement de s, une longueur to — s : l'extremite de cette tangente decrira une courbe, dont la courbe / = o est la developpee. Soit !j, *) le point de cette courbe qui correspond ainsi au point a?., y ; on aura
ft.
I = x + ( io — s ) - J =x—P fl,
fl=y + (u-j) — *Fh= = y+ P/,';
\ et y] sont done ties fonctions rationnelles de j et la courbe decrite par le point y] est algebrique. Inversement, on sait, par la tlieorie generale ties courbes, que x, y, qui sont les coordonnees du centre de courbure de la developpante au point !;, r\, sont fonctions rationnelles
de I, y] .
La proposition est done demontree. II est clair d'ailleurs que l'arc de la developpee d'une courbe algebrique est une fonction algebrique des coordonnees de ses extremites, et Ton peut, par consequent, enoncer le theoreme suivant, dont la premiere partie etait evidente :
Toute courbe algebrique recti fiable est la developpee d'une courbe algebrique, el reciproquement.
Varc d'une courbe algebrique rectifiable, f(%,y) =0, est donne par une expression de la jorme
ou x, y designent les coordonnees de Vextremitc de Varc, w une constante qui depend du choix du point origine des arcs, et P une fonction rationnelle de x, y.
5. La forme de la relation qui lie Tare aux coordon nees permet de deter-
