SUR LES COURBES ALGEBRIQUES PLANES RECTIF1ABLES
miner immediatement cellesdes courbes rectifiables pour lesquelles I'arc est une fonctionralionnelle des coordonnees : si en effet/(#, y) =o est 1 'equation d'une courbe rectifiable, il faut et il suffit, pour que I'expression de Tare soit rationnelle, que le radical \lf^-h/y2 soit egal, en chaque point de la courbe, a une fonction rationnelle, Q(a?, y).
Cette propriete caracterise les courbes A\les de direction, que Laguerre a inlroduitesdanslaGeometrie, et que nous avons nous-meme etudiees, an point de vuc des proprietes de leurs arcs, dans un travail recent ( 1 ). Ces courbes sont cellos dont V equation, en coordonnees tangentielles, pent se mettresous la forme
F et <p etant des polynomes entiers en u, p.
Les courbes que nous cherchons sont done les developpees de direction des courbes algebriques.
Or nous allons montrer que, si la developpee d'une courbe algebrique est de direction, cette courbe est elle-meme de direction, et, inversement, que la developpee d'une courbe de direction est generalement une courbe de direction.
6. Pour demontrer la premiere proposition, considerons une courbe de direction f(x, y) = o, qui soit la developpee d'une courbe algebrique : d'apres ce qui precede, I'arc de la courbe f—o sera exprime par une fonction rationnelle s(x, y) des coordonnees.
Une quelconque des courbes qui out pour developpee J ' = o s'obtiendra en portant sur la tangente a la courbe J\oc, y) = o, au point x, y qui correspond a la valeur s de I'arc, une longueur egale a a — s, dans le sens de l'accroissement de s .: a designe une constante, quelconque d'ailleurs.
Soient \, y] les coordonnees du point ainsi obtenu, qui decrira une courbe algebrique F(E,Y])=o, dont /' = osera la developpee : les coordonnees x,y du centre decourbure de F = o au point rj seront functions rationnelles de y).
Le rayon de courbure R de la courbe F = o au point q sera egal
(') Journal de Mathematiques pares et appliquees , 4° serie, t. Ill; 1887.
a a — s, c'est-a-dire a une fonction rationnelle de x, y et par suite de I, yj.
On aura ainsi
[Fr + F-^'J- = fonction rationnelle de £, rj, ce qui exprime que la courbe F(!j, r\) = o est de direction. Ainsi :
Quand la developpee d'une courbe algebrique est de direction, cette courbe est elle-meme de direction.
7. Arrivons maintenant a la deuxieme proposition, enoncee pour la premiere fois par Laguerre : la developpee f(x,y) = o d'une courbe de direction F(E, r\) = o est elle-meme de direction.
Soient x, y les coordonnees du centre de courbure de la courbe V — o, au point £, yj : deux cas sont a distinguer, selon qu'au point x, y correspond ou non un seul point £, yj.
Dans le premier cas, les normales a la courbe F(£, yj) = one coupent orthogonalement cette courbe qu'en un point; dans le second cas, elles la coupent orthogonalement en deux points au moins.
La courbe F = o etant de direction, le rayon de courbure au point - £, Y] est une fonction rationnelle de £, yj; et, par suite, si l'on se trouve place dans le premier cas, de x, y. La differentielle de ce rayon de courbure etant egale a celle de Tare s de la courbe f = o, il en resulte que la diflerentielle de Tare de cette courbe sera egale a dx multiplie par une fonction rationnelle de x, y. En d'autres termes, la courbe f — o est de direction.
La demonstration precedente ne s'applique pas au second cas; nous allons faire voir que le theoreme de Laguerre n'est pas lui-meme applicable a ce cas, c'est-a-dire que la developpee d'une courbe de direction coupee orthogonalement en deux points par chacune de ses normales n'est pas une courbe de direction.
II est necessaire pour cela d'entrer dans quelques details sur la theorie des courbes paralleles, c'est-a-dire des courbes qui ont meme developpee.
8. Soit f(x, y) = o la developpee d'une courbe algebrique : pour obtenir une quelconque des courbes dont elle est la developpee, il fauf, comme on l'a deja fait observer, porter sur la tangente, au point x, y
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correspondant a la valeur s de Fare, une longueur a —s, dans le sens de l'accroissement positif de s. Soient !j, yj les coordonnees du point ainsi obtenu : on aura, en gardant les notations des nos 3 et 4,
j + («-«-pv(a7+/;2)
ou
? = x — Vfy+ (a — u) ■1 = J + p/.' + (« - w)
On peut, dans les seconds membres, prendre pour le radical des signes quelconques, a condition toutefois que le quotient des fonctions yj — y — V f'x et \ — x -h Py^,' soit egal au coefficient angulaire de la
tangente a la courbe f=o, e'est-a-dire a — -fy
II en resulte qu'a un point x, y correspondent deux points E, rj equidistants du point yj,, dont les coordonnees sont
et qui est egalement sur la tangente a / = o au point .r, v. La distance au point E,, yj, d'un des points E, yj est d'ailleurs egale a (a — oo), e'esta-dire a une constante.
Si nous appelons courbe simple une courbe qui n'est coupee orthogonalement par ses normales qu'en un point, courbe complexe une courbe coupee orthogonalement par ses normales en plus d'un point, onvoitque le point yj, decrit une courbe simple, et les points E, yj une courbe complexe parallele a la premiere.
Inversement, toute courbe simple ou complexe peut etre obtenue de cette maniere a 1'aide de sa developpee.
II resulte de la quo :
Une courbe algebrique indecomposable ne peut elre coupee orthogonalement par ses normales en plus de deux points ( 1 ).
Une courbe algebrique indecomposable , coupee orlhogonalement par toutes ses normales en deux points, soblient en portant sur les normales a une courbe simple, de part el d' autre de lew pied, une longueur constan le.
On peut demon trer que toute courbe parallele a une courbe algebrique est une courbe de direction : si la courbe primitive n'est pas elle-meme de direction, la courbe parallele se compose de deux branches paralleles, algebriquement inseparables, et sc trouve ainsi coupee orlhogonalement en deux points par toutes ses normales; si la courbe primitive est de direction, la courbe parallele se decompose en deux courbes paralleles distinctes, qui ne sont coupees orlhogonalement par leurs normales qu'en un seul point. Les demonstrations de ces theoremes sont donnees dans le Traite de Geometrie de Salmon (Courbes planes) (2), appliquees aux courbes dont I'equation tangentielle est de la forme (u2 -+- p2) F2(«, v) — ^(u, v) — o, e'est-a-dire preeisement aux courbes que Laguerre a appelees depuis courbes de direction.
En combinant tous ces resultats, on arrive, pour notrc objet, aux conclusions suivantes :
La developpce d'une courbe de direction simple est une courbe de direction.
Toute courbe complexe est une courbe de direction.
La developpee d1 une courbe complexe nest jamais de direction.
Celte derniere proposition se demonlre en observant que, si la developpee d'une courbe complexe etait de direction, il en scrait de meme, d'apres le theoreme du n° 6, de la courbe simple a laquelle la courbe complexe est parallele; cette derniere courbe serait alors decomposable en deux courbes simples.
(') II n'est pas sans interet de faire observer qu'un theoreme analogue n'existe pas pour les courbes algebriques spherjques et les grands cercles normaux. (2) Trad. 0. Chemin, pages i5o et suiv.
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