Nous avons maintenant demontre cette proposition
Theoreme. — Les courbcs algebriques planes, donl fare peul elre exprime par une jonction ratwnnelle des coordonnees , sont fas developpees des courbes algebriques simples de direction.
10. On peut donner a ce resultat une forme plus elegante. Lagucrre a demontre, en efTet, que toute courbe de direction peul etre, d'une infinite de manieres, consideree com me une anticaustique par reflexion d'une courbe algebrique, les rayons incidents etant paralleles, et, reciproquement, que toute anticaustique d'une courbe algebrique est une courbe de direction (Nouvelles Annales, 3e serie, t. II, 1 883, p. 29 et suivantes).
11 est necessaire, toutefois, de completer ce theoreme en introduisant la distinction des courbes de direction simples et complexes.
Rappelons d'abord la construction des anticaustiques par reflexion d'une courbe C.
Soient
D une droite perpendiculaire a la direction des rayons lumineux; m un point de C ; mx\e rayon incident; mx' le rayon reflechi ; ml la tangente en m.
Si, par le point de rencontre de mt et de D, on mene la droite A, symetrique de mt par rapport a D, l'enveloppe de cette droite est une anticaustique A, a laquclle le rayon reflechi est normal au point ou il rencontre A.
Le rayon reflechi n'est ainsi normal a A qu'en un point : pour qu'il en fut autrement, il faudrait qu'un meme rayon reflechi put correspondre a deux points m et m' de C, ou, en d'autres termes, que les points de C fussent associes deux a deux, m et m', de facon que les rayons incidents, tombant en metm', se reflechissent tous deux suivant mm'.
Si cette condition est remplie, on voit immediatement que les normales, et par suite les tangentes a C en m et m', sont rectangulaires, et que la droite qui joint le point de concours o de ces tangentes au milieu
3ga oeuvres de georges Humbert.
de mm' est parallele a la direction des rayons incidents : il resulte de la, par l'application d'un theoreme elementaire de Cinematique, que la normale au lieu du point o est parallele aux rayons incidents, c'esl-adire que le point o decrit une droite normale a ces rayons.
Cette discussion montre que les anticaustiques par reflexion des courbes algebriques, pour des rayons paralleles, sont des courbes simples, qu'on sait d'ailleurs etre de direction; il n'y a qu'un cas d'exception, celui oil la courbe reflechissante est telle qu'on puisse lui mener deux tangentes rectangulaires par tous les points d'une droite normale aux rayons incidents : les anticaustiques sont alors des courbes complexes, une seule est une courbe simple, non de direction.
1 1. On deduit de la le theoreme suivant :
Theoreme. — Les courbes planes algebriques, dont Tare peut etre exprime par une fonclion rationnelle des coordonnees, sont les causliques par reflexion de courbes algebriques, les rayons incidents etant paralleles, et reciproquement.
Toutefois, si la courbe reflechissante est telle qu'on puisse lui mener deux tangentes rectangulaires de. tous les points d'une droite normale aux rayons incidents, la caustique aura son arc exprimable algebriquement, mais non rationnellement.
Si Ton observe que, d'apres un theoreme bien connu du a Quetelet, la caustique par reflexion d'une courbe algebrique, les rayons incidents etant concourants, est la developpee d'une courbe algebrique, qui est arbitraire, si la courbe reflechissante l'est elle-meme, on voit que :
Les courbes planes algebriques, dont Varc peut etre exprime par une fonclion algebrique des coordonnees, sont les caustiques par reflexion de courbes algebriques, les rayons incidents etant concourants , et reciproquement.
12. Nous allons donner maintenant quelques exemples de courbes dont l'arc est une fonction rationnelle des coordonnees; nous insisterons sur lecas, particulierement interessant, des epicycloides.
Exemple I. — Caustique d'un cercle. — La caustique par reflexion d'un cercle, les rayons incidents etant paralleles, est, comme on sait, une
SUR LES COURBES ALGEBRIQUES PLANES RECTIFIABLES. 3y3
epicycloide engendree par un point d'un cercle roulant sur un cercle de rayon double.
Son equation peut se mettre sous la forme
On a, pour Tare s, l'expression
s = 3 a3 h const.
ou, d'apres (r),
ga-x
const.
On a done bien une expression ration nelle, comme on devait s'y attendre.
13. Exemple II. — Un autre exemple de courbe rectifiable est fourni par V hypocycloide a quatre rebroussements , engendree par un point d'un cercle roulant interieurement sur un cercle de rayon quadruple.
Cette courbe, bien connue, a pour equation
on trouve, pour l'arc,
xs -\- y3 — a3
5 a ix- — y- + a-
s — : — — ~ -+- const.
La courbe est done une caustique par reflexion de courbe algebrique pour des rayons paralleles; nous allons faire voir qu'onpeut la considerer comme la caustique d'une hypocycloide a trois rebroussements.
En effet, l'axe des x passant par un des trois points de rebroussement de cette derniere courbe, et 1'origine etant au centre du cercle fixe, on a, pour les equations de la tangente et de la normale en un pointde I'liypocycloide a trois rebroussements (Salmon, Courbcs planes),
x sin - a -\- v cos - cp = — k si n - q>,
x cos - co — y sin-Q = — 5 k cos - cp,
k etant une constante et cp un parametre variable. Si les rayons lumi-
CEUVRKS DE C. HUMBERT, T. I. ">0
3g4 OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.
neux sont paralleles a Ox, le rayon reflechi au point d'intersection des deux droites precedences aura pour equation
01 3 . cp . . . 3 9 x sin cp + y cos o = — o A cos - cp sin J A" sin - o cos —
Oil
.r sin o + j cos cp = — 2 A- sin 2 9 -+- A sin cp.
En transportant l'origine des coordonnees au point y = o, x = k, cette equation devient
x' sin o + v'cos cp = — 2Asin2cp.
C'est celle d'une droite dont la partie comprise entre les axes a une longueur constante egale a f\k : l'enveloppe de cette droite, c'est-a-dire la caustique cherchee, est done une hypocyclokle a quatre rebroussements. Ainsi :
La caustique par reflexion d'une hypocyclo'idc a trois rebroussements, les rayons lumineux etant paralleles a un des axes de symetrie de la courbe, est une hypocycloide a quatre rebroussements.
De plus, on deduit sans difficulte des formules qui precedent que les deux hypocycloides peuvent etrc engendrees dela maniere suivante :
Soienl trois cercles, de rayons a, 3a, l\a, tangents entre eux interieurement en un point m. Si Von fait rouler success ivement le premier cere le a, I'interieur de chacun des deux autres, lepoint m decril deux hypocycloides, dont la seconde est la caustique par reflexion de la premiere, pour les rayons lumineux paralleles a la lignc des centres des cercles fixes.
14. Exemple III. - Epicycloides algebriques . — On peut se demander, en presence des resultats qu'on vient d'obtenir, si, dans la famille des epicycloides ou des hypocycloides algebriques, il n'existe pas d'autres courbes ayant leur arc exprimable rationnellement en fonction des coordonnees.
En designant par a le rayon du cercle mobile, par n le rapport de cc rayon au rayon du cercle fixe, on a, pour les coordonnees des points
SUR LES COURBES ALGEISRIQUES PLANES RECTIFIABLES. '6i)J
d'une epicycloide,
— = cos n cs — cos « + i a,
an
'- - - sin n® — sin (n 4- 1) cp,
an
d'oii Ton tire
- = — 1 (n -|- 1) cos - + const.
II ne parait pas facile de determiner, d'apres ces formules, dans quels cas.y est fonction rationnelle de x, r; mais on peut aborder la question d'une autre maniere.
Dans le cas oil n est une fraction, on deduit des relations precedentes que s est une fonction algebrique de x, y, c'est-a-dire que toute epicycloide algebrique est une courbe rectifiable; par consequent, les epicycloides dont Tare est rationnel sont les epicycloides de direction.
Pour trouver toutes ces courbes, observons que, 1'equation tangentielle des courbes de direction etant de la forme
les reciproques de ces courbes, par rapport a un cercle ayant l'origine pour centre, auront une equation de la forme
En d'autres termes, pour qu'une courbe soit de direction, il faut et il suffit que la distance a l'origine d'un pointquelconquede sa reciproque, prise par rapport a un cercle ayant l'origine pour centre, soit une fonction rationnelle des coordonnees de ce point. Cette propriete caracterise les courbes que M. Halphen appelle de premiere calegorie, c'est-a-dire les courbes dont 1'equation en coordonnees polaires est changee quand on remplace r par — r et 0 par 0 -+~ tt.
D'un autre cote, la reciproque d'une epicycloide a pour equation polaire, le centre du cercle fixe etant pris pour origine,
(2) r cos — d = k.
M. Halphen a fait remarquer que les courbes, dont 1'equation est
3(j6 OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.
sont de premiere categorie seulement si l'un des nombres, supposes premiers entre eux, p et q, est pair. Appliquons ce resultat a la
courbe (2); soit n = -; on aura alors
q 2 X -+- fi
Deux cas sont a distinguer : si est impair, p. et 2 \ + u. sont premiers entre eux, en supposant que \j. et A le soient; de plus, ces deux nombres sont impairs, et la courbe n'est pas de premiere categorie; si p. est pair, soit [/, = 2ft', on aura
f* Fj .
los deux nombres pi/ et A + u' seront premiers entre eux, et la courbe sera de premiere categorie si l'un de ces nombres est pair, c'est-a-dire si leur somme est impaire. Or cette somme, egale a "K 4- 2p/, a la parite
de X; il en resulte que n sera de la forme —^r~> et> par suite :
Les epicycloides algebriques, dont fare est une fonction rationnelle des coordonnees, sont celles qu on obtient en pre nant, pour 1' expression du rapport du rayon du cercle mobile au rayon du cercle fixe, une fraction irreductible de de nominate ur pair.
Les deux courbes trouvees plus ha ut rentrent bien dans cette categoric, puisque Ton a, dans le cas de l'exemple I,
et, dans celui de l'exemple II,
15. Exemple IV. — Caustique par re/Iexion de la parabole. — La caustique par reflexion d'une parabole, en supposant les rayons lumineux perpendiculaires a l'axe de la conique, est la developpee de la courbe de direction remarquable que Laguerre a nommee hypercycle cubique; son equation peut, comme on le sait, se mettre sous la forme
SUR LES COURBES ALGEBRIQUES PLANES RECTIFIAULES . ^97
en supposant que l'equation de la parabole soit
y2= l\{mx -+- m-).
La courbe caustique est done unc cubique quia, comme on le voit sans difficulte, un point double pour y = o, x = 8m. C'est, apres la ligne droite, la courbe de moindre degre dont Tare est exprimable en fonction rationnelle cles coordonnees; il est clair, en efTet, qu'aucune conique ne remplit cette condition, et parmi les cubiques il n'y a, comme nous I'avons montre dans un autre travail, que deux especes de courbes de direction. Les cubiques de la premiere espece ont leur arc exprimable par une integrale elliptique; celles de la seconde sont preciscment celles que nous venons de rencontrer (').
On peut mettre sans difficulte les coordonnees des points de la caustique de parabole sous la forme suivante :
x = \(^- — fj ■+•<*, y = \t-+$,
/•etant un parametre variable, et ~k, a, (3 des constantes ; d'ou ds*- — dx- -+■ dy - = ~k- ( t- + i ) - dt
et
s = l J { t-+ i ) dt ;
s est done une fonction rationnelle de t, et par suite de a?, y, comme on le savait d'avance.
16. II est interessant, dans le cas ou 1'arc d'une courbe algebrique est une fonction rationnelle des coordonnees, de determiner la forme de cette fonction.
M. Poincarea demontreque les coordonnees des points d'une courbe algebrique,/ (as, y) = o, peuvent s'exprimer en fonction fuchsienne d'un parametre il en resulte que l'arc, dans le cas oil il est fonction rationnelle des coordonnees, sera lui-meme une fonction fuchsienne de t.
Si, au lieu des coordonnees cartesiennes x et y, on introduit des
(' ) Journal de Mat/teniatir/nes pares et appliquees, \e seric, t. Ill, 1887.
3(j8 OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.
coordonnees homogenes en posant x = — , y — '-- on pourra considers JJ3
per a?,, a?2, a?a comme des fonctions thetafuchsiennes de t, de meme degre u., holomorphes a ['interieur du cercle fundamental, et ayant k zeros communs a, , ot2, . . ., a/(.
Si Tare s est une fonction fuchsienne de t, la fonction s (i)x3 (i) sera vine fonction thetafuchsienne de degre jjl : je dis qu'elle est holomorphe dans le cercle fondamental.
On a en effct
/ dxx dx3\ - / dx2 dx3\ dsY I Xi ~~dt ~ 'Vi ~dt I ( X% ~dt ~~ X2 ~dt '
dt I \ x'{ / \ x
. . ds
Cette expression montre que les infinis de^> ne peuvent etre que
les zeros de x3 (t), non communs aux trois fonctions xif x2, x3, et que,
si (3 est un zero d'ordre h de x3(t), il est, pour^> un infini d'ordre
h -+- i, au plus. Par consequent, les infinis de s (t) ne peuvent etre que les zeros de x3 (t), les quantites a,, . . ,,etk exceptees; et un zero d'ordre h &ex3 (t) est pour s(t) un infini d'ordre A, au plus. La fonction s (t)x3 (t) est done une fonction thetafuchsienne holomorphe dans le cercle fondamental; elle est de degre jx, et de plus elle s'annule pour
t = au a2, . . ., a.k.
Or noUs avons demontre dans un travail anterieur (') que les zeros de toute fonction de cette nature, les quantites a,,..., v.k exceptees, sont les arguments de points de la courbe f (a?,, x.2, x3) = o situes, avec les points ou cette courbe est coupee par une courbe adjointe quelconque P — o de degre n — 3, sur une courbe adjointe C = o, de degre n — i, n designant l'ordre dela courbe /= o.
11 resulte de la que la fonction
Cjx^t), x2(l), x3(t)] Plx^t), x2((), x3(t)Y
qui, evidemment, est une fonction thetafuchsienne holomorphe de degre [i, s'annulant pour / — a,, a2, . .., aA, a les memes zeros que la
(') Journal de Mathe'matiques pnres et appliqiiees, 4e serie, t. II.
SUR LES COURBES ALGEBRIQUES PLANES RECTIKIABLES. 3()(J
fonction s (/) x3 (t); ces deux fonctions sont done identiques, a un facteur constant pres, et Ton a
En revenant aux coordonnees cartesiennes, on trouve ainsi, pour ['expression dc l'arc de la courbe / (x, y) == o,
P = o etant 1'equation d'une courbe de degre n — 3 adjointe a la courbe / = o, et que Ton peut choisir arbitrairement; C— o etant 1'equation d'une courbe adjointe d'ordre n — i, passant par Ies points oil la courbe P = o rencontre la courbe f = o.
C'est la forme cherchee de l'expression de Tare.
On voit aisement que, dans le cas des courbes unicursales, auquel le raisonnement precedent n'est pas applicable, on a pour sunc expression analogue, seulement Ies degres respectifs de P et C sont n — i et n — i .
17. Les resultats precedents montrent que l'arc s, dans le cas oil il s'exprime rationnellemenf, ne peut devenir infini que pour les points a 1'infini de la courbe, car les arguments de ces points sont les seuls qui annulent x.t. De plus, la fonction sx3 ne devient plus infinie en ces points.
Si done on applique a la fonction s un theoreme que nous avons demontre dans notre Memoire sur le theoreme d'Abel, on arrive sans difficulte au resultat suivant, qui ne serait pas vrai pour une courbe de direction quelconque.
Soil C une courbe algebrique do/it Varc est une fonction rationnelle des coordonnees : la somme algebrique des arcs interceptes sur C par deux courbes quelconques de mime degre, appartenant a un mime faisceau ponctuel, est toujours nulle, si chacune des asymptotes de la courbe C est asymptote a Vune des courbes du faisceau.
