SUR UNE INTERPRETATION GEOMETRIQL E

L'EQUATION MODULAIRE POUR LA TRANSFORMATION

DU TROISlEME ORDRE

(Bulletin de la Societe math., t. XWf, 1898, et t. XXVII, 1899.)

Si dans 1'integrale elliptique

r dl

on fait la substitution \ — f et 9 designant deux polynomes d'ordre ip ■+- 1, on sait depuis Jacobi que la transformee sera unc integrale elliptique, a condition que, pour X = ~kh on ait identiquement

f(x)-h®(x) = (x - x^Pfix) (i = h 2, 3, 4),

xt etant une constante et P, un polynome en x. On a alors

r dl rr r dx

J y/(A — A,)...(X — A4) J \J(x — Xi). . .(x — x,,)

g designant une constante, et les modules des deux integrates elliptiques en \ et en x sont lies par l'equation modulaire pour n = zp -+- 1 . Geometriquement, on peut interpreter ce resultat comme il suit : Sur une courbe unicursale C, dont les coordonnees d'un point s'expriment rationnellement cn fonction d'un parametre x, considerons l'involution definie par l'equation f(x) — \y(x) = o,/et cp etant des polynomes d'ordre 2/J+1. Si quatre groupes de l'involution, correspondant aux valeurs A, , . . ., A, de ~k sont formes respectivement par un point simple xt et par ip points confondus deux a deux, le rapport

anharmonique des quatre valeurs At et celui des quatre valeurs xt sont lies par l'equation modulaire pour n == ip -h i.

Par exemple, sur une cubique plane unicursale, les droites issues d'un point fixe quelconque P decoupent les groupes d'une involution qui jouit de la propriete ci-dessus; les quatre groupes remarquables sont en elFet decoupes par les quatre tangentes menees de P a la cubique. D'ou ce theoreme :

Soit une cubique plane unicursale quelconque : les quatre tangentes qu'on lui peut mencr par un point arbitraire la coupent de nouveau en quatre points : le rapport anharmonique des droites qui joignenl a ces quatre points le point double de la cubique et le rapport anharmonique des quatre tangentes primitives sont lies par l'equation modulaire du cas den = 3.

Si p et t designent les deux rapports consideres, celte equation est

( i ) \fpa + \f(\ — p) (i - T) = i ;

c'est l'equation classique entre les modules de Legendre K2 et K*.

On peutdonner de ce resultat une verification geometrique simple. Soit la cubique unicursale.

qui a un point double a l'origine et dont Ox est un axe de symetrie. Menons-lui les quatre tangentes paralleles a cet axe : nous trouvons sans difficulte, pour leur rapport anharmonique,

lj a+.)!(3A-i) et, pour le second rapport anharmonique,

m (j-t)(BX-f-i)9

valeurs qui verifient la relation (i). On voit de plus, puisque p et .a sont exprimes rationnellement en X, que l'equation modulaire pour n = 3, entre K2 et K2, est de genre zero.

Du theoreme general se deduisent quelques consequences :

i° Supposons p = a, c'est-a-dire les rapports anharmoniques egaux : en ce cas, si Ton designe par D le point double de la cubique, par P lc

INTERPRETATION GEOMETRIQUE l)E l'eOUATION MODTILA1KE. |" '>

point d'ou partent les tangentes, par mn . . ., m, les points oil ces tangentes coupent de nouveau la courbe, les six points mK, mit P et D sont sur une conique. D'ailleurs les relations (i) et (3) montrent que, lorsque p = a, les quantites — p et — i sont une des racincs cubiques imaginaires de l'unite, ou ont une des valeurso, — r, En laissant de cote ce dernier cas, oil deux des points mt coincident, on peut dire que :

Si les quatre points oil les tangentes, menees (Tun point P a la cubique, coupent de nouveau cette courbe sont sit lie's avec le point P et le point double sur une mime conique, le rapport anharmonique des quatre tangentes est equianharmonique, et reciproquement.

Le lieu du point P est alors, eomme on le voit directement sans difficulte, la droite qui contient les trois points d'inflexion de la cubique.

2° Si la cubique a un point de rebroussement, le theoreme general subsiste : une des tangentes issues de P passe alors par le point de rebroussement D, et le point mt correspondant est le point ou la droite PD coupe de nouveau la cubique.

On entire immediatement l'equation du lieu des points de rebroussement des cubiques qui touchent trois droites concourantes et passent par trois points situes sur ces droites : ce lieu est une courbe unicursale du 6e ordre, qui se deduit de la courbe modulaire (i) par une transformation quadratique simple.

Un peut faire une nouvelle application de la propriete ci-dessus aux polygones de Poncelet, d'un nombre impair, ip -+- 1, de cotes, inscrits a une conique C et circonscrits a une conique C.

En effet, sur l'unicursale C, les valeurs du parametre x qui correspond aux sommets d'un polygone sont les racines d'une equation de la forme / (x) — X <p (x) = o, comme le montre immediatement la theorie des fonctions ellipliques : on peut le voir encore en observant que les sommets des polygones determinent sur la conique C une involution, laquelle est necessairement rationnelle, c'est-a-dire du type

puisque C est unicursale.

4o4 OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.

Parmiles groupes de cetle involution, ceux qui comprennent un des qualre points xt communs aux coniques C et C comprennent en outre p points confondus deux a deux, car le polygone correspondant se replie sur lui-meme a partir du ( p -+- i )i4me sommet; done, en vertu de la proposition indiquee ci-dessus, le rapport anharmonique des quatre points xt sur la conique C et le rapport anharmonique des valeurs de \ qui correspondent aux qualre polygones replies sont lies par ['equation' modulaire pour n = ip + i .

Afin de donner une forme exclusivement geometrique a ce theoreme, observons que les centres des moyennes distances des sommets des polygones inscrits a C et circonscrits a C decrivent une conique C" {voir a ce sujet une Note de M. Bricard au tome XXVI, p. 91, du Bulletin de la Societe math, de France} et que par consequent le rapport anharmonique des valeurs de \ pour quatre polygones est le meme que celui des quatre centres des moyennes distances correspondants sur la conique C". Ainsi :

Spient deux coniques C el C se coupanl en An . . ., A.,, et telles quil existe des polygones de zp -+- 1 cotes inscrits a C et circonscrits a C : on salt que le lieu des centres des moyennes distances des sommets d'un polygone est une conique C". Cela pose\le rapport anharmonique des quatre points A,, sur la conique C, et le rapport anharmonique, sur la conique C", des centres des moyennes distances correspondant aux: quatre polygones qui out respectivement un des points A, pour sommet sont lies par V equation modulaire du cas n = ip -+- 1 .

On aurait une interpretation analogue si n = ip : l'enonce suivant resume les deux enonces, n etant quelconquc :

Parmi les polygones de n cotes inscrits a C et circonscrits a C, il en est quatre qui ont pour sommet on pour cote un point commun ou une tangente commune a C et a C : le rapport anharmonique, sur la conique C", des centres des moyennes distances correspondant a ccs quatre polygones, et le rapport anharmonique des quatre points A,, sur la conique C, sont lies par r equation modulaire relative a, la transformation d'ordre n.

SUK