I. — Formules analytiques
10. La premiere formule relative au theoreme d'Abel, et qui revient d'aillcurs dans certains cas a une formule anlerieuremcnt connue, est
l6 OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.
etablie, sous differentes formes, dans los Memoires 17 et 18; elle peut etre presentee ainsi :
Soit C une courbe plane ou gauche; on considere une integrale abelienne quelconque, I, appartenant a la courbe, et mise sous forme homogenc
fQ(*,y,*- t\{tdx xdt)
et l'on coupe la courbe C par un systeme do surfaces
®ix, y-> z, t, u) — o,
dependant plgebriqucment d'un parametre u :
La somme des integrates I dont les limites infericures et superieures sont respectivcment les points d' intersection de la courbe C avec deux surfaces du systeme 4>, correspondant aux valeurs u„ et u du parametre, a pour expression
11= f"(2r)du,
Zr designant la somme des residus, par rapport aux zeros de S, de la fonction
oil x, y, z, t designent les coordonnees d'un point C exprimees en fonction (thetafuchsienne, par exemple) d'une meme variable; x' et t' sont les derivees de x et de /.
La formule s'applique meme au cas oil les polynomes Q et S contiennent le parametre u.
Pour le calcul des residus, il n'est pas necessaire de connaitrc explicitement les expressions de x, y, t en fonction d'une variable; la formule n'introduit en effet que des elements geometriques de la courbe C.
Une consequence importante est la suivante :
La somme des integrates I, dont les limites inferieures el superieures sont respectivement les points d 'intersection de la courbe C avec deux surfaces quelconques de mSme ordre, est nulle, si, parmi les surfaces du faisceau determine par les deux surfaces secantes, il en est une, 2, qui
NOTICE SUK LES TRAVAUX SCI ENT1 F I Ql ES DE GEORGES HUMBERT. t*J
passe par torn les points de la courbc C rendant I.' integrate infinie : quand an point est an infini d'ordre li pour la quanlite sous te signe /', la surface 1 doit avoir au meme point, avec C, an con tact d'ordre h — i .
11. Sommes de Jacobi. — Une autre serie de formules se rapporte a l'expression de sommes remarquables : etant donnees, en coordonnees cartesiennes, trois surfaces, d'ordres m, n,p, si Ton designe par A leur jacobien et si Q(x, y, z) est un polynome d'ordre m •+- n -+- p — 4 au plus, Liouville ct Clebsch ont montre que la somme
etendue aux points communs aux trois surfaces, est nullc, et Jacobj avait etabli le theoreme correspondant pour le plan. Or, du theoreme d^e Jacobi, Clebsch a deduit une demonstration du theoreme d'Abel dans le cas des integrales de premiere espeCe : cette liaison entre les deux propositions m'a fail penser qu'on pourrait sans doute, a 1'aide de l'expression generale indiquee plus haut pour le theoreme d'Abel, arriver a evaluer la somme 1, lorsquc le degre du polynome Q depasse m ■+- n-{-p — 4- G'est en effet ce que j'ai pu faire et j'ai donne une foi w ule qui ramene la somme cherchee a une autre, etendue seulement aux points situes a I'intini sur la courbe d'intcrsection de deux des trois surfaces proposers.
Enfin des formules de meme nature expriment les sommes plus generales ou Q est une J onction ration netle : on comprendra l'interet de ces resultats, si Ton re marque que les sommes considerees s'introduisent (juand on cherche a etendre le theoreme d'Abel aux integrales multiples.
C'estainsi que j'ai ete conduit, relativement aux integrales doubles, a des theoremes de meme nature que ceux rappeles plus haut pour les integrales simples; par exemple :
La somme algebrique des valeurs que prend une integrate double abelienne, appar tenant a une surface algebrique S, dans les polygones curvilignes decoupe's sur cette surface par deux surfaces quelconques d un premier faisceau ponctuel el deux surfaces quelconques d 'un deuxiemc faisceau, est egale a zero, s'il existe une surface S, formee par I'ensemb/e d'une surface du premier faisceau et d'une surface du second, passant par to us les points de la surface primitive S, qui rendent I 'element de
OiUVRBS DE O. MUMBLRT, T. I. 'i
V integrate infini; de plus, 2 doit avoir avec S, en tout point de cetle surface qui est un infini d'ordre I pour i 'element de Cintegrale, un contact d^ordre I — i .
La plupart cles resultats geometriques qui suivent sont des applications de ces formules ou propositions.
