LES POLYGONES DE PONCELET

(Bulletin de la Societe math., I. XXVII, 1899.)

Parmi les polygenies inscrits a une conique C et circonscrits a une conique C, il en estquatrequi sont replies sur eux-memes a partird'un de leurs sommets. Si n est impair, ces polygones sont ceux qu'on obtient en partant d'un des quatre points communs aC et a C : le som-

met de rang - l ~^ 1 est le point de contact d'une tangente commune a G

et a C, le sommet suivant coincide avec lui, et le polygone se replie ensuite sur lui-meme, de sorte que tous ses sommets sont doubles, a l'exception du premier. — Si n est pair, en faisant la meme construction a partir d'un point A commun a C etC, on trouve, pour le sommet

de rang ~ + i, un autre point commun A'; le polygone revient ensuite

sur lui-meme, et tous ses sommets sont doubles sauf A et A', Enfin, en faisant la construction a partir du point de contact d'une tangente commune a C et C, on trouve un polygone dont tous les sommets sont doubles, et parmi eux figure un deuxieme point de contact de tangente commune. Cela pose, je dis que :

Le centre harmonique des sommels dun polygone quelconque par rapport a une droite donnee est un point fixe, si la droite coupe la conique C en deux sommets doubles, ou, en lan gage non projectif :

Le centre des moyennes distances des sommets d'un polygone quelconque est un point fixe si les deux points a Cinfini sur la conique C sont des sommets doubles.

Cela resulte immediatement d'une proposition que j'ai fait connaitre

4o6 OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.

dans raon Memoire sur le theoreme d'Abel et qui s'applique evidemment au cas actuel : le centre des moyennes distances des points communs a une courbe C et a chacune des courbes d'un faisceau est un point fixe, si, quand un des points communs s'eloigne a l'infini, un second s'eloigne en raeme temps a l'infini dans la meme direction. En particulier :

Le centre harmonique des sommets dun poly gone quelconque par rapport a la droite qui joint les points de contact de C avec deux des tangentes communes a C el a C est un point fixe.

SUR