QUELQUES-UNES DE SES APPLICATIONS A LA GEOMKTRIE

{Journal de Math., \' serie, t. V, 1889 et t. VI, 1890.)

1. Dans un Memoire publie au tome III (4e serie) de ce Journal, nous avons fait connaitre une formule simple, qui permet, etant donnees une courbe algebrique plane et une integrale abelienne appartenant a cette courbe, de calculer a priori la somme des variations de i'integrale proposee sur les arcs decrits par les points d'intersection de la courbe consideree et d'une courbe algebrique variable, faisant partie d'unfaisceau ponctuel.

Cette somme est, comme on le sait depuis Abel, une fonction algebrique et logarithmique du parametre du faisceau, et la formule que nous rappelons donne un moyen facile de calculer cette fonction, ou plutot sa derivee par rapport au parametre : on estramene a une simple evaluation de residus.

II n'y aurait presque rien a changer a cette theorie pour passer du cas de la courbe plane a celui d'une courbe gauche : les coordonnees d'un point d'une telle courbe peuvent en effet s'exprimer en fonction fuchsienne d'un meme parametre, et, en partant de ce principe, on n'a qu'a repeter pour la courbe gauche les raisonnements fails pour la courbe plane. La formule fondamentale du Memoire precite permet ainsi de calculer la somme des variations d'une integrale abelienne sur les arcs decrits par les points d'intersection d'une courbe gauche et d'une surface algebrique variable appartenant a un faisceau ponctuel.

OEUVRES OF. (lEOROES HUMBERT.

Aii lieu de supposer que la surface variable apparticnt a un faisceau, on peut eonsiderer Ie cas plus general oil elle fait partic d'un systeme algebrique : la question se traite d'une maniere toute semblable, et Ton arrive a une formule de meme nature que celle dont nous venons de parler.

C'est cette nouvelle formule que nous allons tout d'abord dcmontrer : nous etendrons ainsi aux courbes gauches, en les generalisant notablement, les resultats que nous avons etablis pour les courbes planes.

En second lieu, de la formule nouvelle, nous deduirons un certain noinbre de consequences analytiques, dont la plus importante nous permettra de donner une extension du theoreme d'Abel aux integrales doubles et triples, et de retrouver, pour ces integrales, un certain nombre de proprietes que nous avons rencontrees dans le cas des integrales abeliennes ordinaires.

Ces developpements analytiques constituent la premiere Partie du present Memoire : la deuxieme contiendra les applications geometriques, parmi lesquelles nous signalerons celles qui concernent les aires et les courbures spheriques des surfaces algebriques, et les volumes limites par de telles surfaces.