Soient deux surfaces algebriques
/(X,Y,Z) = o et 9(X,Y,Z) = o;
de degres m et n, se coupant suivanl une ou plusieurs courbes gaudies indecomposables ; considerons specialement 1'une de ces courbes que nous designerons par C.
Les coordonnees X, Y, Z d'un point de C peuvent, d'apres un theoreme de M. Poincare, s'exprimer en fonction fuchsienne d'un para-
SUR LE THEOREME d'aBEL. 4°9
metre A; ou, si Ton veut, les coordonnees homogenes x, y, 3, t d'un point de la courbe ^etant pose X = j> Y = j> Z — peuvent se mettre sous la forme
0,,...,0, designant des fonctions thetafuchsiennes holomorphes de la variable A.
Ces fonctions appartiennent a la premiere famille de M. Poincare; le polygone fuchsien correspondant a l\p cotes, les cotes opposes sont conjugues deux a deux, et la somme des angles est egale a 2-rc.
Cela pose, considerons une integrale abelienne quelconque appartenant a la courbe C,
/'Q,(X, Y, Z)^v l-J S,(X, Y,Z)rfX'
Q, et S, etant des polynomes entiers. Remplacons-y X, Y, Z par ■- , y
et supposons x, y, 3, I exprimes en fonction thetafuchsienne de X ; l'integrale prend la forme
x' , i' designant les derivees de x et t par rapport a \. Par suite de la difference des degres des polynomes Q, et S, et du facteur ^ provenant
de la differentielle ^fyj' i' a Pu s'introduire, au numerateur ou au
denominateur de l'expression soumise au signe J", un facteur nous ne le mettrons pas en evidence, le supposant compris dans Q ou dans S, mais alors la difference des degres en x, y, 3, t des polynomes S et Q sera egale a 2.
Nous designerons par q le degre de Q ; celui de S sera q + 2.
3. Soit maintenant un systeme de surfaces algebriques dont l'equation depend algebriquement d'un parametre u,
0(X,Y, Z, u).= o ou, en coordonnees homogenes,
(EtJVRES DE O. HUMBERT, T. I. 52
4'f> OEUVRES 1)E GEORGES HUMBERT.
Proposons-nous d'evaluer la somme des integrates- 1, dont les limites inlerieures sonl respectivement les arguments des points communs a la courbe C et a une surface
* (x, y, z, I, it0) = o,
et les limites superieures les arguments des points communs a C et a la
surface
Considerons, a cet effet, l'integrale
x,y, z, t etant lou jours supposes exprimes en fonction thetafuchsienne de X.
La fonction soumise au signe j , e'est-a-dire la fonction que nous designerons par @(A),
est une fonction thetafuchsienne de degre un, car elle peut s'ecrire
el, sous cette forme, on voit qu'elle estleproduit de troisfacteurs, dont les deux premiers sont des fonctions fuchsiennes, comme etant les quotients de deux fonctions thetafuchsiennes de meme degre, et dont le troisieme est la derivee d'une fonction fuchsienne, c'est-a-dire une fonction thetafuchsienne de degre un.
II resulte de la que l'integrale J' 0(X)dA, prise le long du polygone fuchsien fondamental, est nulle : nousn'insistons pas sur cette demonstration qui est, sans aucun changement, celle que nous avons donnee dans le Memoire mentionne plus haut ( ').
On en conclut que la somme des residus de la fonction 0(A) dans l'interieur du polygone fondamental est nulle : c'est en evaluant ces residus que nous allons arriver a la formule cherchee.
(') Journal de Mathematiqu.es pares et appliquees, 4e serie, t. Ill, p. 33a.
SUn LE THEOREME d'abEL.
Les infinis de 0 (A) sont les zeros de S et ceux de <I>, c'est-a-dire les arguments des points de C situes sur les surfaces S = o et <P = o, Soit d'abord A 1'argument d'un point de G silue sur la surface
le residu correspondant p a pour valour
Q 7. £, 0 ( , ^ *;,(*■ J, «, g, ») , ^ S(a?,7, z, ty y,z, t, u)
Or on a, par hypothese, entre les coordonnees du point considere, la relation
*(ar, y, z, t, it) — o.
On en conclut, lorsque Ton passe de la valeur a du parametre a la valeur u + du, que 1'argument, A, du point eprouve une variation definie par l'equation
<&),(jr, y, 3, t, u) (0. + ®'U(:V, y, Si I, a) dtl = o;
d'ou
et, par suite,
ce qu'on peut ecrirc, en se reportant a la definition de I'integrale I,
p = -dTt
La somme des residus p, changee de signe* est done egale a la derivee de la somme cherchee par rapport an parametre u.
D'apres ce qui precede, cette derniere somme est egale a celle des residus, par rapport aux zeros de S, de la fonction 0 (A).
On a done, en designant par r un de ces residus,
dt J 777/
d'ou
designant la somme des residus par rapport aux zeros de
de la fonction
(2) ea)=^(*'f-*0.
Cost l'extension de la formule demon tree dans notre Memoire sur le theoreme d'Abel.
4. Remarque I. — Si tous les zeros de S sont simples, c'est-a-dire si la surface S = o ne louche pas la courbe C, il est aise d'evaluer les residus correspondants.
Soit A l'un de ces zeros; on aura, pour le residu,
Q(x'i — xt') ^,
it i
— S-/0) or
a, OS , OS , OS . OS ,
D'ailleurs on a, par la formule des fonctions homogenes,
