OS OS OS OS
x — + y ~r + z — -h t— - = (^ + 2)S = o, Ox J Oy Oz Ot ^
puisque le point x, y, z, t est sur la surface S = o.
Si Ton tire de cette relation la valeur de S^ en la portant dans celle de S), il Vient
tS^^ix't-xn + ^iy't-yn + ^iz'l-zt').
D'un autre cote, lesquantites (x't — xt'), (y't — yt'), (z't — zt') sont proportionnelles aux differentielles d > d (^j , d , c'esf-a-dire
aux cosinus directeurs de la tangente a la courbe C au point y> -; ces cosinus, puisque C est a l'intersection des surfaces f — o, cp — o, sont eux-memes proportionnels aux fonctions
fx iz - f'z iy , f'z <pi — /.I- fi , fx- <?'y — f'r im
et Ton a des lors
si r LE THEOREME d'aBEL
en posant
eten designant par As/Sle determinant
s.',. s; s's as/?= /;. /; %
II vient clone
ou, puisqueQ et S sont independants de «,
ox cpv Cpj
Ad Ad °*(.r, r, z, t, u0)'
la somme du second membre etant etendue aux points communs a la courbe C eta la surface S = o, et cr etant defini, en chacun de ces points,
par la relation (3), e'est-a-dire a = ■ ^y ^z — . On pent dire aussi
que a est le residu, au point considere, de la fonction
5. Remarque II. — L'integration par rapport a u de la quantite £r, qui figure dans la formule (i), est tout aussi aisee si Ton suppose que S (x, y, z, t) admette des zeros multiples. Soit, en eflet, \ un zero d'ordre h de S ; ecrivons 0 (X) sous la forme
Le residu de 0(A), correspondant au zero considere, sera de la forme
r - X 4- Kb 4t
<i> eft *
ei, nb, .^etant independants de u, puisqueQ et S le sont eux-memes, et I'integrale corresporidante, f\ rdu, sera
f ZJi du
dl»-1 0>
La premiere integrale est »i,log<1>; une quelconque des autres se calculera par la formnle
r dk <&,, . d>> rvH . dk ,
/ i=rt -xrdu = -rr. j — - du — -prj. log <P.
6. La formule (i) montre que la somme des integrates I sera nulle lorsque 2> sera lui-meme nul. Ce cas se presente, en particulier, si la fonction no devient infinie pour aucun des zeros de S, parce que
tous les residus r sont alors nuls.
Commo exemple, supposons que les surfaces <I> = o forment un faisceau ponctuel <I>U -h u<&) — o; <&'lt est alors egal a 4>, et la fonction 0 (a) devient
QQijx't — xt')
Elle n'aura pas d'autres infinis que les zeros de<I>0-(- m<J>(, si <!>, s'an^nule pour tous les zeros de S qui n'annulent pas Q(x't — xt'). De la resulte cette proposition que nous avons enoncee deja dans le cas des courbes planes (' ) :
Soil I une integrate abelienne , relative a une courbe gauche algebrique C. La somme des integrates I, dont les limites inferieures et superieures sont respective ment les systemes de valeurs des coordonnees qui correspondent aux points d' intersection de la courbe G avecdeux surfaces quelconques de merne degre, est nulle, si, parmi les surfaces du faisceau ponctuel determine par les surfaces secantes, il en est une, 2, qui passe par tous les points de la courbe C rendant V integrate infinie.
Si la quantite sous le signe j" devient infinie d-1 ordre h en un point de G, la surface S doit avoir au meme point avec C un contact d'ordre h — i .
On suppose que toutes les surfaces du faisceau consiilere ne passenl pas par.un de ces points, sinon ©(A )pourraitdevenir infini en ce point, comme le montre l'expression (5).
7. Si les surfaces <I> = o forment un systeme algebrique quelconque, on arrive a un resultat analogue.
(') Loc. cit., p. 338.
SUR LE THltOREME d'abEL. 4 * ^
So it
y, s, «i) = MfA -+- aP-'B +... + Ktt + L
Pour que 0 (A) reste fin i aux points de la courbe qui annulent S, il faut d'apres (2) que s'annule en ces points, quel que soit u, c'esta-dire que Ton ait en chacun d'eux A = B = . . . = K = o.
Cela montre qu'une seuje et meme surface du systeme <I> —.0 passe par tous ces points; cette surface est la surface L = o.
Cette condition necessaire est evidemment suffisante, et Ton peut dire que :
La somme des integrates I dont les limites inferieures et superieures sont respectivement les systemes de va/eurs des coordonnees qui correspondent aux points d intersection de la courbe C avec deux surfaces quelconques d' un systeme algebrique a un parametre est nulle, si les surfaces de ce systeme qui passenl respectivement par les points de la courbe C, rendant r integrate infinie, se reduisent a une seule et meme surface du systeme.
8. Un autre cas particulier interessant est celui ou, S n'ayant que des zeros multiples, la fonction a, quel que soit //, les memes zeros, a un ordre de multiplicite inferieur.
Supposons d'abord que Ton ait <I> = <1>0 4- ; 0(A) est encore donne par la formule (5).
Soit A0 un zero d'ordre h de S : le residu correspondant de 0 est, comme on l'a vu au n° 5, de la forme
La fonction $, s'annule pour la valeur A0 par hypo these; supposons que A0 soit pour cette fonction un zero d'ordre k. Les fonctions^,
^ > . . ., Jp— 7 ^ s'annuleront dans l'expression der; on aura ensuite:
d* $t 1 dk
d\k <D ~ $ dkk "
dk^ *, 1 d 1 dk
Jk^ * -®dl^®, + {k + l)d^®d¥~u
Si Ton remplace <P par <J>0 4- u<&{ , on voit que, pour A = A0, u dispa-
4'l'6 OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.
rait dans Ics denominateurs <1>, *I>2, ... de ces expressions; pour qu'il
die 4>:
apparaisse au numerateur, dans une des derivees -tA i » c'est-a-dire
cfki> <1> + a*i> ' ^au^ 1ue P S01^ au mo'ns ^8a' a Pu'S(Iue les derivees de *J>, s'annulent pour X = X0 jusqu'a l ordre k — i inclus.
II en resulte que les derivees de^> jusqu'a l'ordre h — i inclus, seront independantes de u, pour X = Xu, si Ton a
c'est-a-dire
h<ik.
Si, au contraire, h — i — k — k, c'est-a-dire si h = ik -h i, u apparaitra au premier degre au numerateur de Jpizi ct, en general, on voit aisement, en discutant la forme des derivees successives de ^> que u n'apparaitra pas au second degre dans les numerateurs si Ton a
h<ik,
et ainsi de suite.
Le residu r sera done un polynome entier en u \ il sera de degre zero si h est inferieur ou egal a ik, de degre i si h est compris eritre ik i et 3k, de degre 2 si h est compris entre 3/f + 1 et !\k, et ainsi de suite.
Nous pouvons enoncer maintenant la proposition suivante :
Soil I une integrate abelienne relative a une courbe plane ou gauche
algebrique C, et telle que la quanlite sous le signe J n1 ait que des in finis
d1 ordre de multiplicity superieur a un . La somme des integrates I dont les limites inferieures el superieures sont respeclivement les systemcs de valeurs des coordonnees qui correspondent aux. points d' intersection de la courbe C avec deux surfaces quelconques d 'un faisceau ponctuel, $0 -h uQ<t>, — o, <I>0 -+- u<t>{ = o, s ex primer a par un polynome entier en u0 et u si la surface <!>, = o passe par tous les points de la courbe C rendanl I integral e in/inie, quel que soit d' ailleurs V ordre du contact quelle ail en ces points avec G.
Le degre du polynome entier se calculera aisement par ce qui precede.
StIH LE THfcOREME n'ABEL. 4 1 7
9. On a une proposition lout a fait analogue dans le cas on les surfaces 4> — o torment un systeme algebrique quelconque.
La somrne (les integrales I prises sur la courbe C, entre les points d'intersection de cette courbe avec deux surfaces <T> (x, y, z, t, u0) = o et^(x,y, z, t, u) — o, sera encore exprimable par un polynome entier en u0 et it, si <£,', s'annule; quel que soil //, pour les points de la courbe C qui rendont 1'integ.rale inftnie.
So it tou jours
4> = «f A -+- mP-'B +...+ K«+L;
il faudra pour cela, que les surfaces
passent toutes par les points eonsideres.
Nous n'insisterons pas davantage sur les consequences analytiques qu'on pourrait deduire de ces resultats; nous nous bornerons, au point de vue des applications geometriques, a developper le cas ou I'integrale abelienne consideree est de seconde espece, et, en particulier, celui oil elle est la derivee d'une fonction rationnelle.
II. — Application aux fonctions rationnelles et aux integrales de seconde espece.
