Soit une fonction rationnelle quelconque de x, y, z, t

Q et S designant des polynomes bomogenes en x,y, z, t, de meme degre, q : cette hypothese ne restreinl pas la generality, car nous supposerons toujours qu'on a mis en faeteur, au numerateur ou au denominateur, une puissance de t convenable, de maniere a realiser la condition indiquee.

La formule fondamentale (i) permetde calculer la sommedes valeurs que prend la fonction U, aux points communs a la courbe gauche C et aux surfaces <I> (x, y, z, t, u) = o; il suffit en effet d'appliquer cette formule a I'integrale

<>l r VISES HE GEORGES HUMBERT.

en supposant toujours les coordonnees des points de C exprimees en fonction thetafuchsienne de X.

On a ainsi

lU = Ifrdu, r designant le residu do la fonction

par rapport a un quelconque des infinis de0(X)qui ne sont pas des zeros de <E>, c'est-a-dire par rapport a un zero de S.

Soit X0 un de ces zeros, suppose simple. On a, dans le voisinage de la valeur A0,

U = , r + Hi, + C (I- l0) ■+-. .

dl (I — A0)2^'

et, par suite, il vient, pour le residu rt\e 0(X),

r~ -dl OT

On a done

et la formule qui donne 2 U devient

la somme du second membre etant etendne aux points communs a la courbe G et a la surface S — o.

II est aise de transformer cette formule.

On a. en effet, puisque 4> est le residu de U = jr> pour X === A0,

et. par suite,

AJW Q *x «1> ~ 4> s / '

Or

OS . dS . OS . OS .

SUH Lli THEOREME I) IB EL.

et, puisque le point x, y, z, l est sur la surface S = o,

dS <?S dS dS

d'ou

De me me

o = — x -\ — - ■ y 4- — z +- — t, Ox dy J dz dt

dy

dx dy J dz dt

dy

et, si p est le degre de <I>,

0<\> d*\> d<t> d(I> 1 dx dy J dz dt

d'ou, en eliminant ^ entre les deux derniercs relations,

t^=^(x't-xt')^{y't-yt') + ^-z{Z't-zt')+pt'^.

II vient ainsi

-j- (x' dx

t — Xt') + . . . -+- ~ (z' dz

I — zt')

dS

— (x't — xt') +. . .

dx

La quantite ^-t' est independante de u; prise entre u0 et u, elle donne

done un resultat nul, et il reste

— (x't — xt') + ...

dx

dS

dx

(x't-xt')-i-..

Remplacant xt — xt', . . . par les valeurs proportionnelles, introduites deja plus haut, f'yy'z — f'.y'y, et designant par As/S le determinant

s; sv s:

V<p= tt /; &

on arrive a la formule exprimee par le thcoreme suivant :

Soit § j' Y~t~^ une fonction rationnelle de degre zero en x, y, z, t \ la

somme des valeurs que prend celie function aux points comnwns a une courbe gauche C, el a une surface algebrique <I> — o, est donnee par la for mule

> k- = — 7 t -r-^ + const.,

/« constants etant independante des coefficients de la surfaced = o, el la somme du second membre etant etendue aux points communsa la courbe C a la surface S = o.

O/i suppose toutefois que cette courbe et celte surface ne sonl langentes en aueun de fears points cornmuns.

Cette formule met en evidence la maniere dont les coefficients de la surface variable, $ == o, entrent dans la somme cherchee; sans y insister davantage, nous tirerons de ce qui precede I'extension aux surfaces de proprietes simples indiquees par nous dans le cas des courbes planes.