Nous avons trouve, pour un residu /■ de La fonction

v ' dl <t

correspondant a un zero X0 de S, suppose sim[)le, la relation

d). da <1>

II resultede la que /-sera nul si ^ est independent de //, pourX = ),,. Or soil

tf> = u? A -+- aP 1 B + . . . -t- L, A, B, — L etant des polynomes en oc,y, z, t. On a <b{ = «P k{ + u9-i B{ + .- . . ■+- L.

Pour que ^ ne depende pas de «, il faut et il suffit qu'on ait, P°urX = X0, '

Ces relations peuvcnt s'interpreter geomelriquement d'une maniere

SUR LP. TMltOREME DAliEL. \2l

simple; elles signifient que tonics les surfaces du systeme

qui passent par le point d'argument X0 sur la courbe C, sont tangentes a cette courbe en ce point.

Si done cette condition est verifiee pour tous les points coinmunsaC et a la surface S = o, les residus r seront nuls, et par suite la fonction 2U sera constante.

En d'autres termes, si Ton suppose que la surface S = o ne louche

en aucun point la courbe C, la somme ^endue aux points eom-

muns a cette courbe et a chacune des surfaces du systeme

4> (jc, y, z, t, u ) — o,

sera independante du parametre w, si toutes les surfaces du systeme qui passent par les points communs a la surface S — o et a la courbe C touchent cette courbe en ces points.

Cette proposition peut s'etendre aisement au cas ou la surface S = o a, en un ou plusieurs points, 1111 contact d'un ordre quelconque avec la courbe C,

Supposons en effet que la surface S = o ait avec la courbe C, en un point d'argument X0, un contact d'ordre A — i, et admettons, pour plus de generalite, que la surface Q == o passe aussi par ce point et qu'elle y ait, avec la courbe, un contact d'ordre k — i.

On aura, dans le voisinage de la valeur A0 du parametre X,

n__ Q X Hi.

Le residu r de la function

pour la valeur X0, sera

ce qu'on peut ecrire

Cette valeur sera nulle si la quantitc ~ et ses derivees par rapport

a X, jusqu'a l'ordre h — k — i, sont independantes de u, pourX = X0. Or on a

d / <i»; <!»• - To. ~~ o^'

et, si Ton suppose que ^ est independant de u, il faut et il suffit, pour

que le premier membre le soit egalement, que ^ ne depende pas de //.

On voit de meme que, pour ~ soit independant de u, il faut et il

suffit, les conditions precedentes etant supposees remplies, que ~ ne depende pas de u; et ainsi fie suite.

En resume, r sera nul si les quan tiles

sont independantes de u quand on y fait A = X0. Soit tou jours pose

<b = wPA + aP-'B + . . . + L,

on a

La condition necessaire et suffisante pour que ^» •• • soient independants de u est que les equations en u, de degre p,

aient les memes racines, quand on y fait X = X0.

Soit //„ une racine de Pequation $ = 0; dire qu'elle annule aussi — o, c'est dire que la surface (x, y,z,t, u0), qui passe par le point d'argument X0 sur la courbe C, touche cette courbe en ce point; si u0 annule aussi , c'est que la surface $ (x,y, z, t, u0) a, au meme point, un contact du second ordre avec la courbe, et ainsi de suite.

11 en resulte que la surface O (x, y, z, t, u0) a, au point X0, un contact d'ordre h — k avec la courbe C, et, par suite, la fonction

— — - — — ^-7—- t s annule en ce point, en desitmant par u. une

\tP S (a?,/, z, l) r sir

fonction lineaire quelconque de x, y, z, l, ne s'annulant pas au point

considerr, et introduce pour 1'homogeneite.

Ainsi la somme Vendue aux points eommuns a la courbe C et

a chacune des surfaces du systeme $(x, y, z,t, u) = o, sera indepen-

dante de u si, enchaque pointde la courbe C rendant la fonction ^ infi-

nie, les surfaces du systeme passant par ce point

7> z, t, «0) = o, $ (as, y, z, t, «,) = o, sont telles que les fonctions — (^j ■ M'o) Q > y, », 0? . . . s'annulent

au point considere. -

Nous pouvons done enoncer le theoreme suivant, qui est une generalisation de celui que nous avons demontre dans le cas des courbes planes.

La somme des valeurs que prend une fonction rationnelle, ^ '

homogene et de degre zero, aux ptnnti eommuns a une courbe gauche algebrique C et a chacune des surfaces d1 un systeme algebrique de degre p, y, z, t, u) = o, dont V equation renferme un parametre variable u, reste constante, si les surfaces de ce systeme, $ (x, y, z, t, uf) = o, qui

passent respeclivement par les points de la courbe C rendant la fonction ^ in/inie, sont telles qu en chacun de ces points les fonctions

1>(.r, y, z, t, n j) Q(x,y,z, t) Fp S (a?,/, s, t)

s"1 annulent, u. etant une fonction lineaire quelconque de x, y, 2, t ne s1 annulant en aucun des points considered.

Geometriquement, cela revient a dire que les surfaces

<b(xry,z, t, 11,) = 0

ont, en chacun des points considered, avec la courbe C, un contact d'ordre superieur au contact de cette courbe avec la surface S — o, et me nie, dans le cas ou la surface 0 = 0 passe par le point, il suffit que le contact de

424 OF.TJVltES T)K GEORGES HUMBERT.

la courbe C et des surfaces <t> — o soit d'ordre superieur a la difference entre les ordres des contacts do la courbe avec les surfacesS = o et Q = o.

12. Ce theoreme s'etend immediatement aux integrates abetiennes de seconde espece, puisque toute la demonst ration repose sur ce fait que,

dans le developpement de la fonction ^ au voisinage d'un de ses

infinis,X0, il n'existe pas de terme en * — — y-; on pent done enoncer la proposition suivante :

Soit 1 une integrale abelienne de seconde espece apparlenant a une courbe gauche C. La somme des integrates I, dont ieslimites inferieures et superieures sont respectivement les syslemes de valeurs des coordonne'es, x, y, z, t, qui correspondent aux points d" intersection de la courbe C avec deux surfaces quelconques du systeme (x, y, z, t, u) — o, est nulfe, si les surfaces de ce systeme $ (x, y, z, t, uf) — o, qui passent respectivement par les points de la courbe C rendanl l integrale I in/inie, sont te/les

quen chacun de ces points les fonctions — -— ' —p — I s'annulent.

On peut dire aussi qu'en ces points les fonctions

<[> {x. y, z, t, in) dl

doivent rester finies.

13. On peut etendre le theoreme du n° 11 au cas oil la courbe C est variable dans I'espace, et enoncer a cet egard la proposition suivante, qui se deduit sans difficulte de ce qui precede :

La somme des valeurs que prend une fonction rationnelle

homogene et de degre zero, aux points communs a trois surfaces algcbriques,

/(•*•» y-> z> h «) = 0, ®(.v,y,z,t,i') = o, ty(x, y, z, I, = o,

est independanle des pnrametres a, v, w, dans le cas suivant :

Soient /', , f2, . . . ; <pn <p2, . . . ; . les surfaces de chacun des

SUR LE THEOREME d'aBEL. ^20

trois systemes qui passent par un meme point, A, situe sur la surface S = o : il faudra d'abord qu elles admettenl en A unc meme langente commune T.

Soient de plus (fir <py), (f, '\>k), (cpy, les courbes communes a deux de ces surfaces, de systeme different; il faudra que les courbes de ces trois series aient entre elles, au point A, un contact d'un ordre supcrieur au contact de I'une quelconque d 'entre elles, en ce meme point, avec la surface S = o.

Dans le cas oil la surface S = o est une surface simple, c'est-a-dire si S n'est pas la puissance d'un polynome S, la seconde condition est remplie d'elle-meme si la premiere est verifiee, pourvu toutel'ois que la tangenteT ne touche pas S. Si T touche S au point A, il faudra que les courbes (/, <p), (/, ^), (<?,^) soient osculatrices entre elles en ce point, etc.

Le theoreme s'applique en particulier si l'equation f — o ne renferme pas de parametre variable : il peut alors s'enoncer un peu plus simplement.

La somme des valeurs que prend la fonction ~ aux points communs a une surface fixe f = o, et a deux surfaces mobiles

est independanle des parametres v el w, si, toutes les fois quun de ces points r>ient a coincider avec un point A, situe sur la surface S = o, les surfaces des systemes mobiles ©2, . .., '|/n '\>2, passant par A, sont telles que les courbes (<py, <^k) aient en ce point avec la surface f = o un contact d? ordre supcrieur au contact de I'une quelconque d ] entre elles avec la surface S = o.

14. Le produit des valeurs que prend une fonction rationnelle homogene et de degre zero, ^> aux points communs a la courbe C et a chacune des surfaces du systeme <&(x, y, z, t, u) = o, donne egalement lieu a quelques remarques interessanles.

Soit Q ce produit, pour la surface correspondant a la valeurwdu parametre. Pour l'evaluer, nous considerons, en posant toujours U = -2, l'integrale

rd\2 rdU i I=ZJ TT=J divdl-

\r>.(S OEUVRES DE GEORGES HUMBERT.

Les infinis de la fonction ^ sont tous simples, ce sont les zeros de

S et les zeros de Q. Nous pouvons done appliquer a I la formule du n° 14, <>l nous aurons, les integrales I etant prises entre les points co'mmunsa

C et aux surfaces,

2I = 2g log *3^">

la somme du second membre s'etendant aux points communs a la courbe C et aux surfaces Q = o, S = o, et a etant en chacun de ces points le residu de la fonction

Soit \a l'argument d'un point commun a C et a la surface Q = o. On a, au voisinage de cette valeur,

Si, de meme, X, est l'argument d'un point commun a C et a la surface S = o, et si Ton a, au voisinage de cette valeur,

on trouvera, pour residu correspondant,

crl — — h.

II vient ainsi

vt v rd[] v/i ...,«) v /, i

Dans le second membre, la premiere somme est etendue aux points communs a la courbe C et a la surface Q = o; dans la deuxieme, aux points communs a C et a la surface S = o.

SUK LE THEOREME d'aBEL. /j27

Si Ton passe des logarithmes aux fonctions, on arrive a la formule suivante :

„S -I.JL.S ll(>d>(.r, v, z, t, M0) 11

«t> (x, y. g, /, f/n) Q<l>(.r, v, z, t, u0) lls «I» (.r, }', s, /f, a)

Les produits jj s'etendent aux points communs ii C el a la surface Q = o; les produits J aux points communs a C et a S — o. On peut ecrire plus simplement

(b) 11„S -Aris<D(,r)7, s,i, «)'

A etant une constante independante de «.

15. II est aise de trouver la condition necessaire pour que le second membre soit lui-meme independant de u.

Le numerateur VLQ$> (x,y,z,l, u) est un polynome en u, dont les racines sont celles des equations

*(>»n JTn =n 'i» ") = o, <t»(.r2, k)'=°i

a?,, . . ., ^ ; x., . . ., t2 ; . . . etant les coordonnees des points communs a la surface Q = o et a la courbe C. Ces racines sont done les valeurs de u qui correspondent aux surfaces du systerne <$>(x, y, z, t, u), passant par les points en question.

De meme, les racines du denominaleur Tl^^(x, y, s, t, u) sont les valeurs de u qui correspondent aux surfaces du systerne passant par les points communs a la surface S = o et a la courbe C.

Pourque le second membre de la relation (6) soit independant de u, il faut et il suffit done que les deux series precedentes de valeurs de u soient identiques.

Done :

Le produit des valeurs que prend une fonclion rationnelle,^ (x,-y , z, t),

homogene et de degre zero, aux points communs a une courbe gauche algebrique, C,et a chacune des surfaces du systerne <$> (x,y, z, t, </) = o, est independant du paramctre u, si les surfaces de ce systerne qui passent par chacun des points communs a la courbe C et a laswface Q — o sont

les memes que celles qui passent par chacun des points communs a. la courbe et a la surface S = o .

En particulier, le produit reslera constant si toutes les surfaces du systcme qui passent par un quelconque des points communs a la courbe C et a I' ensemble des deux surfaces Q = o, S = o passent en meme temps par tons les aulres.

Cette proposition subsiste sans modification, quels que soient les contacts de la courbe C avec les surfaces Q = o, S = o.