III. — Extension d'une formule de Jacobi

16. Pour l'npplication du theoreme d'Abel aux integrales multiples, nous nous appuierons sur une formule qu'on pout considcrer comme l'extension d'une formule celebre, donnee autrefois par Jacobi, etqui joue en Analyse un role important. Elle se deduit de considerations analogues a celles dont nous venons de faire usage.

La formule de Jacobi est la suivante.

Si /(X, Y) = o et cp (X, Y) = o sont les equations de deux courbcs planes algebriques, de degres respectifs m et n, et si Q (X, Y) est un polynome en X, Y, de degre egal ou inferieur a m + n — 3, on a identiquement

la somme etant etendue a tous les points (X, Y) communs aux deux courbes / = o, <p = o. Jacobi a meme donne un moyen de calculer cette somme, dans le cas oil le degre du polynome Q est egal a m h- n — i.

[/importance de la formule de Jacobi est mise en evidence par ce fait qu'on peut, en la prenant comme point de depart, etablir le theoreme d'Abel pour les integrales de premiere et de troisieme espece : e'est la marche qu'ont suivie MM. Clebseh et Gordan.

Cette formule s'etend sans difficulte au cas d'un plus grand nombre de variables et de fonctions : Jacobi l'avait observe lui-meme; apres lui, Liouville et Glebsch ont donne des demontrations de la formule ainsi generalisee, qui, dans le cas des surfaces, pent s'enoncer comme il suit :