SUR LE THEOREME ISABEL
Si /(X, Y, Z) = o, <p(X, Y, Z) = o, i|>(X, Y, Z) = o sont les equations de trois surfaces algebriques tie degres respectifs m, n et />; si Ton designe par A le determinant
<pk cp'Y cp'z H A fi
et si Q(X, Y, Z) est un polynome en X, Y, Z, de degre inferieur au degre de A, c'est-a-dire k m -\- n + p — 3, on a identiquement
VQ(X, Y,Z) ^A(X, Y,Z)
la somme etant etendue aux points (X, Y, Z) commmuns aux trois surfaces /= o, 9 = o, 'I = o.
17. Que devient cette fornmle dans le cas ou Ie degre de Q est superieur ou egal a celui de A? C'est ce que nous allons rechercher, en examinant meme le cas ou Q est non plus un polynome, mais unc fonction rationnelle quelconque ; nous arriverons ainsi a une expression relativement simple, qui servira de base a nos recherches ulterieures sur Ie theoreme d'Abel.
Designons toujours par C la courbe gauche, intersection complete ou partielle, des deux surfaces /(X, Y, Z) = o, <p(X, Y, Z) — o, de degres respectifs m et n.
Soient Q(X, Y, Z) un polynome de degre q en X, Y, Z; '^(X, Y, Z) un autre polynome de degre p : designons toujours para;', y', z', t' les derivees des coordonnees xry, z, t d'un point de la courbe C par rapport au parametre fuchsien ~k, et considerons I'integrale
J <KX, Y,Z)[/^'Z/^'V]
X, Y, Z etant lies par les relations /= o, 9=0; ou, plus exactement, X, Y, Z etant les coordonnees d'un point de la courbe C. Si nous ren-
dons cette integrate homogene par la substitution de ~, -> - a X, Y, Z
et si nous remplacoos x, y, 2, t par leurs valeurs en fonction theta-
430 OKUV1UCS DE GEORGES HUMBERT.
fuchsienne tie A, I'integrale devient
, C Q {x, y, z, i) x't — xi'
-J ^{x,y, s, t)[/;.9'z- f[9'y] F dL
Dans cette expression, k est un entier defini par la relation
Designons par 0(X) la fonction tie A soumise au signe J , ~ . < . Q x' I — xt'
Nous savons (n° 3) que la somme des residus de cette fonction, dans 1'interieur du polygone fondamental, est egale a zero. Les infinis de la fonction 0(A) sont de trois sortes :
i° Ceux qui correspondent a un zero de '\>(x, y, z, t), c'est-a-dire les arguments, X, des points communs a la courbe C et a la surface ']i(x, y, z, i) = o;
2° Ceux qui correspondent a un zero de la fonction/' y'z — f'ztfy\ 3° Ceux qui correspondent a un zero de tk, dans le cas ou le nombre k est au moins egal a i , c'est-a-dire si Ton a g = m -+- n -+- p — 3.
Soit d'abord \ l'argument d'un point de la courbe C situe sur la surface ']>(x, y, z, i) = o.
Si nous admettons que cette surface ne touche C en aucun point, X est un zero simple de <\>(.r,y, z, t) et le residu r est donne par la formule
Q (x, y, z, t) x' t — xL' i
et, d'apres un calcul deja fait plusieurs fois,
f'yiz — fziy yr{x't — xt')+yy(y't—yt')+yz(z'l — zt')
Remplacant x't — xt', y't — yt', z't — zt' par les quantites proportionnelles (n" 4)
on trouvc
SUR LE TIllLOREME d'adEL. ffi |
A etant le determinant defini au n" 16, ct X, Y, Z etant les coordonnees d'un des points communs a la courbe C et a la surface 'j/(X, Y, Z) — o. La somme des residus de la fonction 0(A), correspondant aux zeros
de 'js est done precisement egale a la somme chcrchee,^ -J> t'tendue
aux points communs a la courbe C et a la surface = o. Soit maintenant un zero, X, de f'yo'~ — /',?', ■ On a en chaque point de la courbe C (n° 4)
x't — xt' y't — yt' z't — tz'
fy^-f- ?v ~fW.r~ f'r 9'- ~ f- <?'■ - f'r ?'■>■ '
Si le zero, X, de/', .cpl — f'.o'r n'annule pas x t — xt', e'est-a-dire si le point correspondant de la courbe C n'est pas le point de contact d'une tangente parallele au plan des YZ, il annulera necessairement les fonctions f'sy'x — f'x% et f'xy\ . — /',.©',.. Deux cas sont done a distinguer :
i° Le zero, X, de 'f'ytf- — f'sy'y annule x't — xt'; la relation
montre que 0 reste fin i pour cette valeur, et par suite le residu correspondant est nul.
2° Le zero considere annule/', fWr; fy'x -f'xo'z ;/'xfy -fyix\ les deux surfaces f — o, <p = o sont alors tangentes au point correspondant de la courbe C, ou, plus plus exactement, leur intersection presente en ce point un point singulier. Ce cas va lui-meme se subdiviser en deux autres, selon que le point singulier de l'intersection sera ou non un point singulier de la courbe C; ce sera necessairement un point singulier de C, si C constitue l'intersection complete des deux surfaces, ce que nous allons supposer.
18. Admettons, dans cette hypothese, qu'il s'agisse d'un point double, A, de la courbe C, de coordonnees a, b, c, auquel correspondent les deux valeurs fx et [x, du parametre X.
Posons, pour simplifier,
Le residu de la fonction 0(X), correspondant a l'infini simple fx,
sera
^(a, b, c) RW-hR'bb'+Kc''
a', b', c' etant les derivees de X, Y, Z par rapport a A, pour la valeur X = [/. : ces derivees sont proportionnelles aux cosinus directeurs de la tangcnte menee, au point A, a la branche de la courbe C qui correspond a la valeur tx du parametre.
On a de meme, pour le residu correspondant a A =
~ <\,(a, b, c) KX-t-R',,^ 4-HI.c', '
ou
^ * ^ (a, b, c) \K„a'+ Wbb'+Kc' RX + R'X + R'cc', ) '
Je dis que la quantite entre crochets dans le second membre est egale a zero.
Soit, en effet, P(X, Y, Z) un polynome de degre w + en X, Y, Z. On voit, comme plus haut, que 1'integrale, appartenant a la courbe C,
fP(X, Y, Z)
J fw-i-n^
prise le long du polygone fondamental est nulle. Cette integrate peut s'ecrire
J /;■?':- fay } '
et, t n'etant pas en facteur au denominateur a cause du degre de P, la quantite sous le signe / n'a pas d'autres infinis que les valeurs de ~k qui correspondent aux points singuliers de la courbe C. La somme des residus relatifs a ces valeurs est done nulle. Or, on peut choisir pour P le premier membre de l'equation d'une surface de degre m -+- n — 4, presentant en tous les points singuliers de la courbe C, le point A excepte, le caractere d'une surface adjointe ('); les seuls
infinis de la fonction , , sont alors les quantites fx et [/., ; la
J z J z tyy
(') Poir, pour la demonstration de l'existence d'un tel polynome P le Memoire de M. Nother sur les courbes gauches (Journal de Crelle, t. 93).
SUR LE THEOREME d'abEL. 4^3
somme des residus correspondants etant nulle, on a, comme plus haut,
o= rb+fb = P(«, h c) (R, a,+ R?^,+ K c, + n>, + R/6, - R,c, et, par suite, on a bien aussi, puisque P(a, 6, c) n'est pas nul,
II n'y aurait d'exception que si, dans l'expression de r^-h r^,, on ne
pouvait pas mellre en facteur ^~L^~^, c'est-a-dire si '\>(a, b, c) etait
nul, ce qui, geomelriquement, sign ifierai t que la surface ^ = o passe par le point singulier. Ecartons ce cas particulier; nous voyons que, si la courbe C est l'interseclion complete des deux surfaces f = 0,0 = o, il n'y a pas, dans revaluation des residus de ©(A), a tenir compte des zeros de/;Gp'r-/;.'f;.
Si C ne forme pas l'interseclion complete des deux surfaces f=o, 0 — 0, nous nous bornerons a faire observer qu'on n'a pas a tenir compte de ces zeros s'ils annulent en memc temps Q(x,y, z, t) parce qu'alors 0(A) reste fini pour les valeurs correspondantes.
19. Revenant au cas oil C est l'interseclion complete des deux surfaces f— o, 9=0, il resulte de tout ce qui precede que la somme a
evaluer, V ou, en coordonnees homoffenes, "V -Mn > etendue a tous
les points communs aux trois surfaces f = o, <p = o, '\ — o, est egale et de signe conlraire a la somme des residus, corrcspondant aux zeros de t, de la fonction
Q(.r, y. z, t) x'l — xl'
oil Ton suppose les coordonnees de la courbe /== n, 0 = 0 exprimees en fonction thetafuchsienne d'un parametre A.
Rappelons que m, n, p, q sont les degres en X, Y, Z de f, <p, '|, Q et qu'on a
Pour arriver a ce resultat nous avons du faire plusieurs hypotheses, dont il est aise de nous dcbarrasser.
(EUVRES Dli G. IIUMUERT, T. I. 55
Nous avons admis que la surface <J< = o ne touchait pas la courbe C et ne passait par aucnn des points singuliers de cette courbe.
S'il en est autrement, designons par x, y, z, t les coordonnees d'un point de contact de } = o et de C, ou celles d'un point double de C par lequel passerait la surface •]/ = o. 11 est clair qu'en ce point le determinant A s'annule; de plus, deux des points communs aux trois Surfaces f — o, <p = o, '\ = o etant confondus avec le point x, y, z, t, deux
des termes de la somme ^ deviennent infinis, et cette somme est
indeterminee.
Mais, si nous supposons que la surface | = o deperide d'un parametre variable, le theoreme precedent s'appliquera lorsque cette surface, par exemple, sera sur le point de toucher la courbe C, et il restera
vraie a la limite, lorsqu'elle touchera cette courbe; la somme ^
dont deux termes tendent vers rinfini, aura ainsi une limite bien determines. II en sera de meme si la surface = o vient a passer, en variant d'une maniere continue, par un point multiple de C.
II faut seulement que la surface mobile, — o, ne passe pas constamment par un point multiple de C, et ne touche pas constamment cette courbe en un meme point.
Remarquons enfin qu'il n'est pas necessaire, pour qu'on puisse appliquer la formule precedente, que les surfaces f== o, 9 — o sc coupent suivant une courbe indecomposable : si ces surfaces se coupaient en effet sui vant plusieurs courbes distinctos, on pourrait modifier infiniment peu leurs coefficients de facon a roster dans l'hypothesc d'une intersection indecomposable, et le theoreme serait applicable. II restera done a la limite, puisqu'il conduit a une formule parfaitement determinee; seulement il faudra former autant de functions 0(X) qu'il y a de courbes distinctes dans l'intersection des deux surfaces, et fairc la somme des residus de toutes ces fonctions pour tous les zeros de l.
20. On peut, dans certains cas, transformer ce resultat, pour le presenter sous une forme plus simple.
Soit \u un zero de t, e'est-a-dire l'argument d'un point a rinfini sur la courbe/— o, cp = o. Le resultat correspondant de 0(A) est egal, au
facteur — . pres, a la valeur de l'integrale j'(d{\)<fk le long d'un petit
SUR ,LE TUKOREME d'aBEJ.. 4^5
contour entourant le point X0. Effectuons un changement de variable, en prenant pour nouvelle variable, a la place de X, la quantite -, et
posons
Soient o, yj0, '(0 les valeurs de G, y), Z, pour X = X0; 1'integrale precedente peut s'ecrire
c'est-a-dire
ou, en simplifiant et remarquant que £ = </ — (m -+- n -+-/>) -h 4>
Si X„ est un zero simple de pendant que la variable X decrit un contour autour du point X)p, la variable 9 decrira une fois un contour autour du point 0 = o, et, par suite, le residu que nous cherchons sera
egal au produit de — -, par la valeur de 1'integrale du second membre le
long d'un petit contour entourant le point 0 = 0, les fonctions yj et 'C etant definies par les equations
/(i, *),?, 0)-o, cp(i,t,, C, 6) = o,
et ayant les valeurs initiales y]<> et '(„ pour G = o. On peut done dire que le residu cherche est le residu de la fonction de Q
