f — I) rffl

oil Ton a fait 6 = o.

Nous sommes ainsi arrive a la formule suivante :

Soient trois surfaces algebriques,

rfe degre's respectifs m, n, p; soit de plus Q(jc, y, z, t) un polynome homogene dont le degre q est superieur ou egal a

m H- n -f - p — 3, et soit pose

Designons par A /<? determinant

fx fy fz V* ?v I* ^ ^

L« valeur de la somme^? Jjt > etendue a tous les points communs aux trois surfaces f = o, qp = o, '|> = o, e.yZ donnee par la formule

~~ i. 2... (A — i)2dddA-1

Z)<m$ second membre, la sommc selend a tous les points a Vinfmi de

/a courbe f—o, cp = o ; Y], 0 designent —■> ^» -; Y] eZ '( kwZ considerces comme des fonctions de 0 definies par les equations

/(i, Yi, 9) = o, <p(t,U, £, 0) = o,

ez, <Z*a«* /a derivee d'o/'dre k — i calcule'e d'apres ces bases, on fail /inalement 6 = o.

On suppose toutefois que la courbe f = o, <p = o ne touche pas le plan de l'infini.

21. Remarque I. — Dans cet enonce, nous n'avons pas laisse subsister la restriction faite plus haut que la courbe commune aux surfaces f = o,

SVR LE THEOUEME n'ABEL. /| 3 -J

<p = o est indecomposable : si en effet les deux surfaces se coupent suivant plusieurs courbes distinctes, modifions infiniment peu leurs coefficients de maniere qu'elles se renconlrent suivant une courbe indecomposable; le theorcme est alors applicable, et il est clair qu'il reste vrai a la limite, puisque la formule continue a se presenter sous une forme bien determinee. Seulement il importe d'observer que la

somme ^ ^ ^ ainsi calculee s'etend a tons les points communs aux

surfaces f = o, cp = o, ^ = o, et qu'elle ne serait pas vraie si on l'appliquait seulement aux points communs a la surface ^ = o et a une partie de 1'intersection des surfaces f= o, cp = o.

22. Remarque II. — La formule se presente sous une forme non symetrique par rapport aux fonctions f, cp et '| : il est clair qu'elle peut prendre deux autres formes, par la permutation entre elles de ces fonctions. Dans chaque cas particulier, on choisira ainsi la forme la plus commode pour le developpement de la derivee d'ordre k — i.