Remarque III. — Si le degre de Q est inferieur ou egal a

k est negatif ou nul, et l ne figure plus en denominateur dans 0(A) : il n'y a done pas de residus correspondant aux zeros de t, et la somme

^ — etendue aux points d'intersection des trois surfaces /= o,

cp = o, ^ = o, est uulle. C'est le theoreme de Jacobi, Liouville et Clebsch.

24. Remarque IV. — Si Q est de meme degre que A, e'est-a-dire de degre m -\- n p — 3, on aura k = i , et la formule devient

Q y QO,-i,C.o) A ^ + (i,tj,C,o)[/,'^-/c<Pi]

ou, si Ton veut,

^(^,7, Z, 0[/YV;-/i<P.v]

la somme du second membre etant etendue aux points a Tinfini de la courbe / = o, cp = o.

Cette somme ne depend que des termes des degres le plus eleves en

x, y, z dans les polynomes /, cp, '\> et Q, c'est-a-dire des courbes a I'infini sur les surfaces /= o, cp = o, = o, Q = o; elle ne change done pas si Ton remplace ces surfaces par des surfaces qui leur soient respectivement asymptotiques.

25. Remarque V. — On voitde meme, en general, que la somme^^FT^' etendue aux points d'intersection des trois surfaces / = o, cp = o, <\> — o, ne change pas si Ton remplace /, cp, '\ et Q respectivement par / 4- ; cp-f-*Acp(; "\ 4- ' Q+^Qi? f%> ?m 'j'l' Qi etant des polynomes quelconques de degres respectifs m — k, n — k, p — q — k\ car, dans la derivee d'ordre k — 1 qui figure dans le second membre de (8), f\> ®i> Qi et leurs derivees n'apparaitront que multiplies par des puissances de 6, et par suite ne subsisteront plus dans l'equation quand on y fera 0 = o.