Remarque VI. — La forme de la fonction 0(A

Q x't — xt'

montre que les residus par rapport aux zeros de ih seront tous nuls, non seulement si Q est divisible par tk, ce qui est le cas de la

Remarque 111, mais encore si ^ reste fini pour les points de la

courbe f —o, cp — o, situes dans le plan de I'infini, t == o. Done :

La somme ^ -r^f? V-> ■*■> l>> etendue aux points a" intersection des

trois surfaces f = o, cp = o, <J» = 0, est nulle si la fonction ^^^l '^-/- ^ reste finie pour les points a Vinfini de la courbe commune a deux de ces surfaces, en designant par une fonction lineaire quelconque de x, y, z, t, introduite pour 1'homogeneite, et ne s'annulaut en aucun de ces points.

27. La formule du n° 19 est susceptible d'une extension importante, a laquelle on arrive par 1'application des principes employes plus haul.

Si Ton part en effet de ['integrate, appartenant toujours a la courbe f = <>, cp = 0,

Q (X, Y, Z) dX

+ (X, Y,Z)[/vcp,-/^;.] K«TP.

SUIl Ll! THK0I1EME d'ABEL. \

Q etant un polynome de degre q;R., T, ... des polynomes de degres r, s, ... en X, Y, Z, on voit qu'en la rendant homogenc ct en substituant a x, y, ~-, i leurs valours on fonetion thetafuchsienne de X, ellc prend la forme

0 x ' t — xt' cfk

etant pose

Le facteur I ne figurera pas au denominateur si Ton a k<o, c'esta-dire si

Cela pose, on voit, oomme plus haut, que la somme des residus, dans le polygone f'ondamental, de la fonetion

est nulle, et qu'il n'y a pas lieu de tenir compte de ceux qui proviennent des zeros de/^.cp'. — f. cc/., pourvu toutefois qu'aucune des surfaces 'I> = o ; K = o; T = o; t = o ne passe par un point singulier de la

courbe = o, © = o.

Le residu de ©(X) pour un zero de ty, correspondant a un point x, y, z, t de la courbc f = <>, cp — o, est, d'apres le calcul du n° 17, egal a

ARaTP. .."

On a done la relation

2 ARgTP.-. . +2 P" +Ep'l+-,, = °'-

la premiere somme s'etendant aux points communs aux surfaces f=o, cp = o, -j/ = o; SpR, SpT, ... designant les sommes des residus de la fonetion 0(X) par rapport aux zeros de R, T, . . ., tu .

Si Ton suppose a = (3 = ..'.= i, et si £ est nul ou negatif, la formule devient

f^ RS . . . ^ A/?R (j/f . . . a/?t vj; R

Af9ty designant toujours le determinant dont les lignes sont les derivees partielles de /, cp, par rapport a x,y, z. La premiere somme s'etond

44« OEUVRES I)E GEOUGES HUMBERT.

aux points communs aux surfaces f = o, cp = o, = o ; la seconde aux points communs a f = o, o — o, R = o, et ainsi de suite.