Remarque I. — La formula (10) montre que la somme V

'^ARaTP . . .

est nnlle si n'a pas d'autres infinis que les zeros de ^ et ceux de

f'Ty's — /"- 9, , c'est-a-dire si la surface Q = o a un contact d'ordre a — i avec la courbe / = o, i].

D'une maniere plus precise, on peut dire que la somme^ ^Rg^ —

etendue aux points communs aux surfaces j — o, <p — o, ^ = o est

nulle, si la fonction „ ,, ^ — ; — r reste time pour tous les points de la Ra IP... tk\>Jl r r

courbe /= o, 9 = 0 situes sur les surfaces R = o, T == o, .... / = o,

fx etant une fonction lineaire de x,y, s, t, introduite a une puissance

convenable pour l'homogeneite, et ne s'annulant en aucun de ces points.

29. Remarque 11. — Si, dans ce qui precede, on remplace le polynorae Q par un polynome de meme degre, Q,, de la forme

Q,==Q + A/4- Bf + Cip,

A, B, C etant des polynomes entiers, la somme ^ ^p^p — > etendue.

aux points d'intersection des surfaces f = o, y = o, '\i = o, sera egale a la somme analogue, oil Q, est remplace par Q.

Elle aura encore pour valeur la somme, changee de signe, des residus par rapport aux zeros de R, S, . . ., I de la fonction

Q+A/ + Bcp + C4 x't-xt'

Elle sera nulle si la fonction ^ B<! +. ^ reste finie pour tons

ft« TP . . . tk ph r

les points de la courbe /= o, <p == o, et en particulier si

Q + A/-+- Bcp.+ C^

est divisible par RaTp. . ,tk.

SUR LE THKOREME d'aBEL.

IV. — Application aux integrates multiples du theoreme d'Abel.

30. Soit /(X, Y, Z) — o l'equation d'une surface algebrique de degre m ; considerons 1'integrale double, appartenant a cette surface,

,ff Q(X, Y, Z) ^/X d\ •'-./ J S(X, Y,Z) /z

Soient maintenant deux systemes de surfaces algebriques : <5 (X, Y, Z, u) = o, <F(X,Y,Z, i>) = o,

dont les equations, de degres et /; en X, Y, Z, renferment respectivement deux parametres, u el v.

Deux surfaces voisincs du premier systeme et deux surfaces voisines du second decoupent sur la surface fixe, /(X, Y, Z) = o, des quadrilateres curvilignes infiniment petits, dont le nombre est egal a celui des points de rencontre des surfaces f—o, $ = o, — o, e'est-a-dire a mnp.

Si Ton fait varier la deuxieme surface du systeme u, en laissant la premiere fixe, et si Ton fait de meme varier la deuxieme surface du systeme v, les quadrilateres decoupes prendront des dimensions finies : le probleme que nous nous proposons est d'evaluer la somme algebrique des valeurs de 1'integrale J, prise dans tous les quadrilateres ainsi determines.

Soient

$(X,Y,Z, u) = o, $(X,Y,Z, u + du) = o, W(X, Y, Z, (0 = o, V (X, Y, Z, v -hdv ) =o

les equations de deux surfaces voisines du systeme // et de deux surfaces voisines du systeme v. Transformons 1'integrale J en prenant pour variables u et v a la place de X, Y.

II faut, pour cela, remplacer dXdY par mod H > H designant le jaco-

bien de u et v, consideres comme fonctions de X et Y. Or on a les relations

44=* d'ou

0$ du

du,

Si Ton tire drL de la premiere de ces equations pour le porter dans les deux autres, on trouve

r^O df [dX dZ

d0> df dZ dX

dX +

df dY dZ

dZ dY

du dZ

et une equation analogue pour dv.

Ces relations donnent 4^-> ^> 4r ' ^? fit l'on a, par suite,

#X yi <y\ dY 1

d« de d<> dw dX dY dX dY (d® df

i \dX dZ

d<l> d»F dw dt;

c'est-a-dire

en posant

d* df dZ OX

dW df dY dZ

dW dY

( dY) \ dX dZ dZ dX J \d Y dZ dZ d Y )

dfV dZJ

d4> dW df'

du du dZj

df df df dX dY dZ

dO d$> d*b dX dY M dW dW dW dX dY ~dZ

L'element de l'integrale double J devient ainsi

Q dXdY

du dv

mod

td® dW df\ du dv dZj

La somme de ces elements dans les quadrilateres infiniment petits

SUR LE THEOREMS d'abEL. 443

decoupes sur la surface f=o par les quatre surfaces considerees a done pour valeur

dQdWdf

. j v< Q .dudvdZ

du dv 7 rr-p mod - .

Au lieu de considerer la somme de ces elements, considerons leur somme algebrique, en supprimant le signe mod; nous aurons alors a evaluer l'expression

, , Q d® dW SA du di>

la somme s'etendant a tous les points communs aux surfaces /=o, $ — o, ¥ = o; et par suite, la somme algebrique des valeurs que prend l'integrale J dans les quadrilateres curvilignes compris sur la surface / = o, entre les surfaces

aura pour expression

la somme s'etendant aux points communs aux trois surfaces /=.?, *(X,Y,Z,«) = o, <F(X,Y,Z,p) = o.

Comme nous l'avons fait observer, e'est la l'expression de la somme algebrique des valeurs de l'integrale J; pour preciser, on peut dire que, dans cette somme, chaque element de l'integrale J

e'est-a-dire ~- dX dY\ fisrure avec le signe de — ^ 1— A.

S/z / 5 & du dv dz

31. Dans la nouvelle integrale double (12), en u et v, entre une somme de la nature de celle que nous avons etudiees precedemment.

Cette somme est une fonction symetrique des coordonnees des points communs aux surfaces /= o, = o, W = o : e'est done une fonction rationnelle de u et v.

L'integrale double K est done de la forme

^ du dv,

M et N etant des polynomes entiers. Cette integrate ne peut done, en general, se ramener aux fonctions rationnelles et logarithmiques, comme dans le cas d'une seule variable.

Une etude approfondie des differentes formes dont elle est susceptible sortirait du cadre du present Memoire, et nous nous reservons de revenir plus tard sur ce point; nous nous contenterons de signaler ici, en raison de leurs applications geometriques, quelques cas particuliers tres etendus oii l'integrale K se presente sous une forme simple.

32. Supposons d'aborJ que les systemes de surfaces <£ = o, W — o soient deux faisceaux ponctuels, et posons

«I> ( X, Y, Z, a ) = (D, ( X, Y, Z ) + a 4>2 (X, Y, Z ), «F(X,Y,Z; (>) = ir\(X,Y,Z)+ (;*T2(X,Y,Z).

On aura

la somme S s'etendant aux points coinmuns aux surfaces f — o, = o, W = o.

Soient toujours m, n, p, q, s les degres, en X, Y, Z, de /, W, Q, S. La somme^^-^— 2 clevient, en coordonnees homogenes,

etant pose

Nous distinguerons deux cas, selon que k est ou n'est pas superieur a zero.

i° Soit d'abord kio.

D'apres les propositions du n° 28, la somme precedente sera null i*

SUK LE THEOREME d'aBEL. 44^

si la fonclion

Sfx"

reste finie en tous les points de la courbe /= o, = o, situes sur la surface S = o ; designe unc fonction lineairc quelconque de x, y, z, t, ne devenant pas nulle en ces points, et h est defini par la relation

A fortiori, la somme dont il s'agit sera nulle si la fonction (i3) reste finie en chacun des points de la courbe commune <tux surfaces /= o; S = o : cette condition est plus avantageuse a etudier que la precedente, parce que la courbe / = o, S = o est une courbe fixe, independante des parametres u et v.

Seulement, il importe de remarquer que jx est alors une fonction lineaire de x, ,yz, t, qu'on devra faire varier d'un point a l'autre de cette courbe, de telle facon qu'elle ne s'annule pas au point de la courbe que Ton considere.

Posons, pour abreger,

3 (x,y,z,t)=w 2 2 — , et supposons que Ton ait

S = RaTP. ...

Imaginons que les coordonnnees d'un point de la surface /= o soient exprimees en fonction de deux parametres, aet w; §{x, y, z, t) devient alors une fonction '§ (<r, to).

Cherchons d'abord a quelles conditions ^i-jp' ^ restera fini en un

point, de parametres <o0, <r0, situe sur la surface R = o.

Si ce point est un point ordinaire de la surface /= o, et si la surface R = o ne la touche pas en ce point, on aura, au voisinage des valeurs co0, cr0 :

R (oo, <t) = X(o) — u0) +Di(«j- (T0) -+- 3(w — oo0)2 + . . . ,

A et ub n'etant pas nuls a la fois.

Si les surfaces T = o,... ne passent pas par le point considere, il

faudra, pour que Ra^p — reste fini pour co = a>0, a = <r0, que Ton ait,

pour ces valeurs,

Si la surface R = o touche au point co0, a0, la surface / = o, ou, plus generalement, si la surface S = o a en ce point, avec cette derniere, un contact d'ordre/ — i (/etant superieur a a), ce qui se presente notamment aux points communs a /= o et a deux des sur-

faces R = o, T == o, . . il faudra, pour que j^fp- ' ' reste nn' au P°int considere, ajouter aux equations qui precedent lessuivantes :

d*$ da$

^co'-1 ~0' do1-1 ~°'

Comme la fonction p ne s'annule pas pour to == a>0, a = <x0, il faut evidemment que ces conditions soient verifiees par la fonction Q<D2T2f * qui figure au numerateur de §\ geometriquement, d'apres la theorie du contact, cela revient a dire que la surface Q<^2W2t-/' = o passe par la courbe commune aux surfaces / = o, S = o, et que, si en un point de cette courbe la surface S = o a un contact d'ordre / — i avec la surface /= o, la surface Q<fr2W2t~'' = o a, au meme point, avec cette derniere, un contact d'ordre superieur.

La surface Q<&2W2t~k = o se decomposant en surfaces distinctes, il suffit que la condition precedente soit remplie par l'une d'elles, et en particulier par la surface $2W2 = o.

2° Soit maintenant £>o. La sommc^ 2 s'ecrit, en coordonnees homogenes,

et Ton voit comme precedemment qu'elle sera nulle si la fonction (l4) -sTv^"

SUR LE THEOREME d'abEL.

reste finie en tous les points de la courbe commune a la surface f — o eta la surface SzA= o.

On arrive ainsi a un resultat semblable a celui que Ton a trouve plus haul, en ayant soin de traiter le facteur /* qui figure au denominateur comme on a traite les facteurs Ra,

33. Toutes ces consequences peuvent se resumer en une formule simple.

Soil I une integrale double abelienne appartenant a une surface algebrique,/ (X, Y, Z) = o, de degre m,

Q et S etant des polynomes de degre q et s en X, Y, Z.

La somme algebrique des valeurs que prend I'integrale I dans les polygones curvilignes decoupes sur la surface f = o par deux surfaces quelconques d'un premier faisceau ponctuel de degre n, et deux surfaces quelconques d'un second faisceau de degre p, est egale a zero si Ton peut trouver une surface 2 = o du premier faisceau et une surface W., = o du second, telles que la fonction

reste finie en chacun des points de la surface / = o situes sur les surfaces s — o, t = o, etant pose

h = rn -+- n -+- p — 1\ .

Dans cette fonction, designe une expression lineaire quelconque en x, y, z, t, introduite pour 1'liomogeneite, et qu'on choisira de maniere a ne pas s'annuler au point de la surface f = o que Ton considered.

Geometriquement, cette condition est equivalente a la suivante : il faut qu'on puisse trouver une surface $2 = o du premier faisceau, et une surface W2— o du second, telles que la surface $21Ir2 = o passe par tous les points de la surface /— o situes sur la surface Stk = o, el qu'elle ait avec f = o, en chacun de ces points, un contact d'ordre superieur a celui des surfaces / = o, = o au meme point.

34. On peut encore transformer ce resultat pour lui donner une forme identique a celle du theoreme du n° 6, relatif aux integrates abeliennes simples.

A cet effet, soit I, une integrate double abelienne de la forme

dX dY,

Q, et S, etant des polynomes en X, Y et Z, de degres qt et st , et X, Y, Z etant lies par l'equation /(X, Y, Z) = o.

Cherchons a determiner les infinis de l'integrale I,. A cet effet, rem-

placons X, Y, Z par -■> y> -

et supposons x,y, z, t exprimes en fonc-

tion de deux parametres, a et w. II vient

dX dY =

ce qui s'ecrit

da db> \

dX dY

r dx

Odd

If) c

da rf&j,

' da y da

dx l7Fa

dt da

dr,> J d'j>

c'est-a-dire

On a d'ailleurs

dX dY.

da dui t3

dx dv dt

du da du

dx dy da

da da dt

Ces expressions montrent que les infinis de l'element differentiel de l'integrale I, sont les points de lacourbe /= o, Sitqt~Sl+3= o.

Nous dirons que cette courbe, ou une portion de cette courbe, est un infini d'ordre/pour l'element differentiel si la surface S/'''I,+3=oa, le long de cette courbe, avec /=o, un contact d'ordre l—i. Ainsi, en general, le long de la courbe a l'infini sur la surface /= o, l'element differentiel sera infini d'ordre qt — s,-+- 3.

Dans le cas ou f'z figure au denominateur de l'element differentiel, il

SUR LE THEOREME d'abEL. 449

est aise de voir que, le long de la courbe / = o, f'L = o, l'element differentiel ne devient pas infini , parce que le determinant qui figure dans I'expression (i5) s'annule en tous les points de cette courbe qui ne sont pas des points singuliers.

Ainsi, en revenant aux notations des nos 30 et suivants, l'element differentiel

devient infini le long de la courbe S«'/i"i",t— o, c'est-a-dire de la courbe S/*=o; il devient en outre infini aux points singuliers de la surface /= o.

Si maintenanton se reporte a la proposition du n° 33, on voit qu'elle peut s'enoncer ainsi :

I. La somme algebrique des valeurs que prend une integrale double abelienne appartenant a une surface algebrique

dans les polygones decoupes sur cette surface par deux surf aces quelconques d'un premier faisceau ponctuel el deux surfaces quelconques d'un deuxieme faisceau est egale a zero, s'il exisle une surface 2, formee par r ensemble a" une surface du premier faisceau et d'une surface du second, passant par tous les points de la surface f—o, qui rendent l'element de Vinlegrale infini, avec la con lilion d' avoir avec la surface f = o, en tout point de cette surface qui est infini d'ordrc I pour V element de V integrale, un contact d^ordre I — i .

De plus, quand l'integrale est sous la forme J* j" 1^yrd\ dY, il n'y a

pas, dans l'enonce precedent, a tenir compte de ceux des infinis de l'element differentiel qui annulent/'z, meme s'ils correspondent a des points singuliers de la surface f =o.

Dans le cas ou les surfaces $ = o, W = o forment deux systemes algebriques quelconques, il faut quela condition precedente soit rem-

plie, quels que soient les parametres u et v, par la surface ^j- ^ = o,

comme le montre la formule (12).

35. On peut signaler, en raison de l'interet geometrique de ses appli-

cations, un nouveau cas particulier, oil la so mine algebrique des integrales doubles I, au lieu d'etre nulle comme dans l'exemple precedent, s'expriine en fonction rationnelle et logarithmique des parametres u et v. Soit, pour fixer les idees, l'integrale

'ffsfi

oh le degre de ~r est egal a — 3; et soit

pose

S = KaTP...

Les infinis de l'element differentiel sont les points communs a /= o et aux surfaces R — o, T = o, . . . .

Imaginons que, parmiles surfaces de 1'un des faisceaux secants, il en existe une passant par les courbes d intersection de/= o et des surfaces R = o, T = o,. . ., soit par exemple

$,= A/ + BRT....

Nous ne supposons pas que cette surface aitavec f = o, le long de ces courbes, des contacts d'ordre plus ou moins eleve, comme on l'admettait dans le theoreme precedent.

L'integrale K est ici

Nous avons supprime au numerateur de la somme S le ternie Af, parce que la somme s'etend aux points communs aux trois surfaces /^o,$( + u$>., = o, W, + v Wz = o.

La proposition que nous allons etablir est que l'integrale K est une fonction entiere de u, et une fonction rationnelle et logarithmique de v.

On a, en effet, en remarquant qu'en vertu de 1'hypothese faile sur le

degre de Mr le numerateur de la quantite sous le signe 2 est de degre inferieur au denominateur et, en appliquant la formule (io) du n° 27,

SPR, £pT, ... designant les sommes des residus, par rapport aux zeros

SUR LE TH^OREME n'ABEL.

de R, T, . . ., de la fonction

Q'F2B x't — xt'

(/^'i ;-./V 'I ''=)[*, + «*,] R*-' TP-

Dans cette fonction, x, y, z, t sont les coordonnees, exprimees en fonction tbetafuchsienne de A, d'un point de la courbe f = o, W = o. Si Ton remarque maintenant que <£2 s'annule pour les points de celte courbe situes sur les surfaces R = o, T = o, . . ., on voit que, dans les residus de 0 (X) par rapport aux zeros de R, T, u ne figurera pas au denominateur, car il n'entre, an denominateur, que dans des puissances de la fonction ^ '^^ , fonction prise en un point commun a la

courbe /'= o, W = o et a Tune des surfaces R = o, T = o, Comme

pour ces points <P2 s'annule, u ne figurera pas au denominateur. On voit ainsi que la somme