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qui est une fonction rationnelle de u et de v, est une fonction entiere de u. II serait aise de preciser son degre en u; nous en donnerons des exemples dans les applications.
Cette fonction est done de la forme
§0, i(, . . . etant des fonctions rationnelles de v. On a done
11 si V
Ks=J j dudv[3\{v) + «£, (<')+•• .] = (« — «„) f $0(v)dv+"2~ "° f i^vjdv
ce qui demontre la proposition enoncec.
Dans le cas oil la surface du second faisceau W2 — o passe egalement par les courbes situees sur f —o rendant I'integrale I infinie, on voit de meme que K est une fonction entiere de v\ cette integrate est alors fonction entiere des parametres u et v.
On aurait un resultat analogue si ~- etait de degre superieur a — 3.
Nous pouvons done enoncer la proposition suivante :
II. La somme algebrique des valeurs que prend une integrate double
abelienne, apparlenanl a une surface /(X, Y, Z) = o, dans les polygones ({{'coupes sur cette surface par deux surfaces quelconques d'un premier faisceau <I>, -+-u<f>2 = o, el deux surfaces quelconques d'un autre faisceau, W, H- vW2 = o,est une fonction entiere du parametre u et une fonction rationnelle et logarithmique du parametre v, si la surface <$>2 = o du premier faisceau passe par tous les points de la surface f—o qui rendent V element de Vintegrale infini.
Si la surface W2 = o du second faisceau satis fait egalement a la mime condition, la somme precedente est une fonction entiere aes deux parametres u et v.
36. On a un resultat semblable dans le cas ou les surfaces <J> = o, W = o forment deux systemes algebriques quelconques.
La somme des integrales I sera une fonction entiere de u et une
fonction rationnelle et logarithmique de v si la surface ^ = o passe,
quel que soit u, par tous les points rendant l'element differentiel infini.
Si $ = Au9 -h B«f l -+- . . . -+- Ku + L, il faut pour cela que les surfaces A = o, B = o, . . ., K = o passent par ces points.
V. — Le theoreme d'Abel pour les integrales de differentielles totales.
37. Soit toujours /(X, Y, Z) = o l'equation d'une surface algebrique de degre m; considerons l'integrale, appartenant a cette surface,
rQ(X,Y,Z) R(X,Y,Z) J S (X, Y, Z) T ( X, Y, Z)
Q, R, S, T etant des polynomes de degres q, r, s, t, et les fractions 0 R
rationnelles ^ > ^ satisfaisant a lacondition d'integrabilite
On suppose, dans cette integrale, que Z est une fonction de X et Y, satisfaisant a l'equation /(X, Y, Z) = o.
SUR LE THEOREME d'aT!EL.
Cela pose, soient deux systemes de surfaces algebriques <I> ( X, V, Z, u ) = o, W( X, Y, Z, o) = o,
dontles equations, de degres rn et p en X, Y, Z, renferment respectivement deux parametres u et v.
Considei'ons deux surfaces du premier systeme, correspondant aux valours u0 et ut du parametre u, et de meme deux surfaces du second, correspondant aux valeurs e0 et i\ ; proposons-nous d'evaluer la somme des integrates I, dont les limites inferieures sont les valeurs de X et Y qui correspondent aux points communsa f— o et aux surfaces de parametres u0 et v0, et dont les limites superieures sont les valeurs de X et Y' correspondant aux points communs a f=o et aux surfaces de parametres ut et .
Soient u et v des valeurs des parametres, comprises respectivement outre u0 et u{, v0 et cf ; transformons I'integrale I en prenant pour variables u et v a la place de X et Y.
On a les relations
d'ou
MdX + ~ d~u ' .dW,.. dW dX dv
On tire de la
dd> ( df dW df dW } ,
dW ( df d<t> df
et
dv \ d'L dY dY dZ \ di'
. <)4> \df dW df dW) ,
+ dv I dX dZ dZ dX \
A designant toujours le determinant^ — ^i^^dY' ^n a done, pour
l'element do I'integrale I,.
