S 1 OIL
M,, N, ; Mo, N, elant les coefficients de (~ da et ~ dv dans les valeurs
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de A^X et AdY.
La somme de ces elements, pour les points communs a la surface/ — o et aux surfaces <P(X, Y, Z, u) = o, T(X, Y, Z, v) = o, est done de la lor me
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les sommes s'etendant aux points communs aux trois surfaces.
On est done encore ramene au calcul de sommes analogues a celles que nous avons si souvent introduces dans ce travail, et ce calcul se f'era par l'application de la formule generale du n° 27.
II est clair d'ailleurs que chacune des sommes qui figurent dans l'expression (16) est une fonction rationnelle de a et de et Ton en conclut aisement que I'integrale de cette expression est une fonction rationnelle et logarithmique de u et de v.
En effet, soit la fonction
J — j M («, v)du -+- N(k v) dt>,
oil M et N sont rationnels.
On a
J =i ^ M(«, v)du+j^ N (</„,(•)<•/('
La premiere integrale etantune fonction rationnelle et logarithmique de u, et la seconde etant independante de u, on voit bienquej est fonction rationnelle et logarithmique de a et, par suite, de v, puisqu'on pent repeter pour v le raisonnement fait pour a. Cost l'extension evidenle du theoreme d'Abel aux integrates de differentielles totales.
Le casou les surfaces 0 — o, W = o appartiennent respectivement a un faisceau ponctuel donne des resuliats simples.
SUK LE THEOREME ISABEL.
Soit toujours
W = + vWt.
L'integrale a calculer est
J==J^2sTA+'/r28TA-
On arrive sans difficulty, en repetant les raisonncments faits dans Ie paragraphe precedent, aux propositions suivantes. Soit 1'integrale
que nous ramenerons a la forme
M,rfX + N,rfY S,
Nous appellerons infini de I'element de I, en designant par m,, nif s< les degres de M,, N,, S,, les infinis des fonctions
Mt(j?, y, z, t) 1 N,(ag, y, z, t) i
L'ordre d'un infini, defini comme au n° 34, sera l'ordre de cet infini dans celle des deux fonctions qui l'admet avec l'ordre le plus eleve.
I. La sommc des valeurs des integrates I, dont les limites infer ieures sont les valeurs de X, Y, Z qui correspondent aux points d"1 intersection de la surface f — o avec deux surfaces <!>, -+- w0$2 = o, W, -+- v0 W2 — o, et dont les limites superieures sont les valeurs qui correspondent aux points d ' intersection de f = o avec les surfaces <D, -+- u<S}2 — o, Wt -+- vW2 = o, est nulle si Vune des surfaces du faisceau <J>, 4- — o et Vune des surfaces du faisceau W, -+- vW., = o passent par les points de la surface f = o qui rendent I element de V integrate I infini, avec la condition d avoir avec la surface f — o, en tout point de cette surface qui est pour I'element de I un injini dordre I, un contact d'ordre I — 1 .
II. La somme des valeurs precedentes des integrates I sera une fonclion entiere de u si la surface <£2 = o passe simplemenl par les points de f — o qui rendent V element de l'integrale injini.
Elle sera de me me une fonction enliere de v si la surface W2 == o satis- Jait a la mime condition.
On a des rcsultals analogues dans le cas ou Ies surfaces $ = o, W — o appartiennent a deux systemes algebriques quelconques.
