DEUXIEME P ARTIE
38. Les theories analytiques exposees dans la premiere Partie de ce Memoire donnent lien a des applications geometriques nombreuses et variees. Parmi ces applications, celles qui reposent snr la consideration d'integrales abeliennes simples appartenant a une conrbe plane ou gauche rentrent dans le meme cadre que les questions traitees par nous dans un travail anterieur publie dans ce Journal (' ) ; aussi n'avons-nous pas juge utile d'y revenir.
C'est done uniquement sur les problemes ou inteiviennent des integrals abeliennes multiples que nous avons insiste : on trouvera, par exemple, dans le present Memoire, des propositions geometriques nouvelles sur les aires planes et spheriques, sur les volumes limitespar des surfaces algebriques, et une serie assez etendue de theoremes sur les aires ellipsoidales, theoremes qui conduisenta une generalisation interessante des resultats celebres de Graves et Chasles sur les arcs d'ellipse. Les proprietes des aires sur iVllipsoide ont ete jusqu'ici a peine effleurees par les geometres; nous ne connaissons sur ce sujet, en dehors des travaux relatifs a l'aire totale de la surface, que les recherches de Jellett et de Lebesgue, qui ont donne l'expression, a I'aide des integrates elliptiques, d'aires ellipsoidales limitees par des courbes algebriques, d'ailleurs tres particulieres. Nous demontrons qu'on peut determiner simplement sur l'elli psoide une infinite de courbes algebriques a deux boucles fermees, comprenant entre elles une aire reductible aux fonctions elliptiques et, sur une quadrique
(4 ) Voir Journal de Mat/iematiques, 4e serie, t. Ill, p. 327.
SUR LE THEOREME d'aBEL.
quelconque, une infinite d'aires dont la somme algebrique s'exprime a l'aide de fonctions rationnelles et logarithmiques. Ce sujet etant nouveau, nous avons cru devoir lc developper assez longuement, et ilconstitue la partie principale du present Memoire. L'emploi des fonctions elliptiques nous a permis de pousser les calculs jusqu'au bout.
Le dernier Chapitre, qui est tres court, est consacre a l'extension do quelques-unes de ccs proprietes aux aires sur une surface algebrique quclconque.
