Soient deux systemes de courbes algebriques planes
de degres n et p.
Deux courbes voisines du premier systeme et deux courbes voisines du second comprennent entre elles np quadrilateres curvilignes infiniment petits; la somme algebrique de Ieurs aires se calcule d'apres les
formules du n° 30, en partant de I'integrale J' d\^l\^ elle a pour expression
du dv ^
da dv
la somme s'etendant aux points communs aux courbes $ = o, W = o, et A etant le jacobien de <I> et de W.
On en deduit, par 1'application des raisonnements et des theoremes des nos 34 et 35, les propositions suivantes, dont quelques-unes ont ele deja demontrees par nous, a l'aide de considerations dillerentos (').
La somme algebrique des aires planes comprises entre deux courbes asymptotes et deux courbes asymptotiques quelconques est nulle.
La somme algebrique des aires planes comprises entre deux courbes valuables appartenant a un systeme algebrique
(*) Sur le tlieoreme d'Abel {Journal de Mathenialicjues, 4' serie, t. Ill, p. 354).
el deux courbes egalcrnent variables appartenant a un fauceau ponctuel de courbes asymptotes entre elles,
W\ + vt*Wt—o ('),
est une fonction rationnelle el logarithmique de u, et line fonction entiere^ du premier degre, de v.
La somrne algebrique des aires planes comprises enlrc deux courbes variables, appartenant a un systeme algebrique,
et deux courbes egalcrnent variables appartenant a un faiseeait ponctuel de courbes asympto/.iques,W , -f- vl W., = o, est une fonction rationnelle et logarithmique de u, et une fonction entiere, du second degre, de v.
La somme algebrique des aires planes comprises entre deux combes variables, appartenant a un faisceau ponctuel de courbes asymptotiques, et deux courbes egalcrnent variables, appartenant aussi a un faisceau analogue, est une fonction entiere des paramelres des deux faisceaux.
Dans toutes ces propositions on suppose que les courbes d'un des systemes n'ont pas de point fixe commun a l'infini avec les courbes de l'autre.
40. On a des theoremes tout a fait analogues pour les volumes dans
I'espace.
Soient trois systemes de surfaces algebriques
la somme algebrique des volumes compris entre trois de ces surfaces et (rois surfaces respectivement voisines est
d<b dW did
i 7 7 du dv dw du av aw 2^ ^ >
( ' ) t designe la variable d'homogeneile.
SUR LE THEOREME d'abEL. 4^9
la somme s'etendant aux points communs aux surfaces 0 = o, W = o, 0 - o, et A etant le jacobien de <E>, Ws (-). On cn conclut que :
La somme algebrique des volumes compris entre deux surfaces asymptotes, deux autres surfaces egalement asymptotes et deux surfaces quelconques de mime degre, est nulle.
De mime, est nulle aussi la somme des volumes compris entre deux surfaces asymptotiques, deux autres surfaces egalement asymptotiques el deux surfaces asymptotes quelconques, etc. (').
Nous entendons par surfaces asymptotiques des surfaces qui ont memes points a l'infini, et par surfaces asymptotes des surfaces qui ont memes plans tangents en tous les points a l'infini.
La somme des volumes compris entre deux surfaces fixes de mime degre, deux autres surfaces fixes egalement de mime degre et deux surfaces variables, appartenant a un faisceau poncluel de surfaces asymptotes (asymptotiques), $ + ut''<& = o, est une fonction entiere, du premier, (du troisieme) degre en a (// = i ou i).
On suppose que les surfaces des trois systemes n'ont pas constamment de point commun a l'infini.
41. Nous allons chercher, en revenant a la question des aires planes, comment varie la somme des aires decoupees sur un plan qui se deplace parallelement a hii-meme, par le solide compris entre deux surfaces de meme degre et deux autres surfaces egalement de merae degre. Soient
deux systemes de surfaces, et un plan paraljele aXOY,Z = A. On a (n° 30), pour la somme des aires decoupees sur le plan par quatre sur-
(^On deduit de la que la somme des volumes compris a Vinterieur dun cylindre a base fermee, entre deux surjaces asymptotes, est nulle, parce qu'on pent dexouper le cylindre en tranches inliniment pctitcs comprises entre deux series de plans, paralleles aux generatrices et respectivemcnl paralleles entre eux dans chaque serie. Les plans de chaque serie ferment en elTet un systcme de surfaces asymptotiques. La courhe -de base du cylindre peut etre algebrique ou transcendante.
46o OKU V RES DE GEORGES HUMBERT.
faces u0 et u, p„ et ['expression
K = / / du dv
Jtf dW
du dv
Or, d'apres la formule (8) du n° 20, oil Ton doit faire k = 3, il vient
<H> dW
dud.y^
d2 du dv
x*d62 (z — hd) [ <!>,, y ' j — <i>f <i , ]
La sorame du second membre s'etend cette fois aux points communs, a (T> = o, W = o, 0 — o; rj et 'C sont des fonctions de u, v, 0 definies par <I>(i, yj, 9, u) = o; y7(i, yj, C, 0> ") = o, et l'on doit faire tinalement 0 = o ('). On voit alors que h figurera au second degre au nume-
rateur et disparaitra au denominateur de la quantite sous le signc j J* ; il en resulte que K est de la forme
Done :
La somme des aires decoupces sur un plan qui se deplace parallelement a lui-meme, par le solide compris entre deux surfaces de meme degre, et deux autres surfaces egalement de mime degre, est proportionnelle au produit des distances du plan mobile a deux plans fixes de mime direction.
Si les surfaces q> = o forment un faisceau ponctuel de surfaces asymptotiques, on peut poser
<I> = <!>, -+- ut^,\
, oiit alnvc enrol o /<T) of n
du
est alors egal a t$,, et, par suite, k — 2 (n° 20 ). II vient alors
K =J fdu dv^ ±Q (T^yT^__>
et par suite K est du premier degre en h - si
<I> — 3>, + ur-<&.,,
Y 3 t ' (') Rappelons que q, £, 0 designent respectivement1^ , - ■> - ; x, y, z, t etant des
variables d'homogeneite, telles que S.I = x; Yt =y ; Zt — z.
SUK LE THEOREME d'aBEL. 4^1
K est une constantcen /*. II en est de meme si
* — <!>, + ut$t et W — % -t- vtW*.
Ainsi :
La sornme des aires decoupees sur un plan qui se dc place parallelement a lui-meme par le solide cornpris entre deux surfaces asymptotes {asymplotiques) et deux surfaces de meme degre quelconques (asymptotiques) est const ante.
Si les deux premieres surfaces sont asymptotiques, les deux dernieres etant quelconques, la somrne en question est proporlionnelle a la distance du plan mobile a un plan fixe de meme direction.
