II. — Aires spheriques
42. La somme des aires comprises sur la sphere S, S = \2+ V2 + Z2— R2=o,
entre deux surfaces d'un premier systeme
et deux surfaces d'un second systeme
a pour expression
K = nf f rfBrf„2^fl,
on le voit en partant de 1'integrale qui donne l'aire spherique
Dans l'expression de K, la somme est etendue aux points communs aux surfaces <P = o, W — o, S = o, et A est le jacobien de <D, W, S.
II est a remarquer ici que le denominateur de l'expression sous le signe 2 est de degre inferieur, en general, d'une unite seulement au numerateur, et non pas de deux unites comme dans le cas des aires planes, ou de trois comme dans celui des volumes; cela tient a ce que
le radical \.'X2 + Y2 -+- '// est une constante sur toute la sphere. II en resulle les consequences suivantes, toujours par Implication des theoremes des nos 34 et 35.
La somme des aires comprises sur une sphere entre deux surfaces quelconques de meme degre et deux surfaces asymptotes est nulle.
La somme des aires comprises sur une sphere entre deux surfaces asymplotiques et deux autres surfaces egalement asymptotiques est nulle.
La somme des aires comprises sur une sphere entre deux surfaces variables appartenanl a un systeme algebrique, <I>(X, Y, Z, u) = o et deux suryaces egalement variables appartenant a un faisceau ponctuel de surfaces asymptotiques, Wt -+- vtW2 = o, est une fonction rationnelle et logarithmique de u, el une fonction entiere du premier degre de v.
On suppose que les surfaces des deux systemes n'ont pas constamment de point comrnun sur le cercle a I'infini.
43. II est interessant d'etudier la forme sous laquelle les coefficients de l'equation de la sphere figurent dans les expressions precedentes. On a, d'apres la formule (8) du n° 20, en y faisant k = i,
d^d W d$> dW
Ou dv i> V1 d. du dv
2j a ~ 2dd~s (i + + - \v-e-) n\~ <i>;>r;j '
la somme du second membre s'etendant aux points communs a <I> = o, W — o,0 = o. Plus generalement, si la sphere a pour equation
on aura, au denominateur, au lieu de i ,-f- rj2 -+- 'C2 — R2 02, l'expression
(. - aQY+{-n-^f + ^-yBy--\V-d\
Dans le second membre de la relation precedenle, yj et '( sont des fonctions de u, v et 0 definies par $ (i, yj, 'C, 0, u) = o, W (i , Y], 0, v) = o et Ton doit, dans le resultat final de la derivation, faire 0 = o. II en resulte que l'expression a deriver par rapport a 0 se compose de deux facteurs, l'un
dW
■ du dv
SUR LE THEOREME n'ABEL.
est independant des coefficients de la sphere-, Tautre scul
( , aQy- + ( y) — (30 )5 4- (. K — yO y- — \v S*-
depend de a, ft, y, R. Par suite, le resultat de la derivation, en y faisant 8 = o, est de la forme
<Ai 2 lib
[a + Y)({3 -rio) + ?(y — ?'o)],
ct» et >i!) etant independants de a, ft, y, R, ainsi que yj, 'C, yjg et £9. U en resulle que la somme des aires comprises sur la sphere entre deux surfaces fixes du premier systeme et deux surfaces fixes du second est de la forme
r» /I a \ ,i /—, i , + f/3 + vy + ZD
2R (la + p.|3 -+- vy -4- hj) ou 2 K V'' + p.- -I- v- 11 ' — — ,
sjl* + p2 v2
|x, v, ci etant fixes. En d'aulres termcs, on a ce theoreme interessant et tres general, tout a fait analogue a une proposition que nous avons fait connaitre au tome IV de ce Journal, pour les aires decoupees sur une sphere par une surface conique ou une surface reglee (').
Soient deux surfaces quelconques de meme degre p, et deux autres surfaces egalement dememe degre q. La somme algebrique des i pq aires que ce systeme decoupe sur une sphere de rayon R est egafe a i p Rd ; p etant un coef ficient dependant de la nature du systeme des surfaces primitives, et d designant la distance du centre de la sphere a un plan, lie invariablement a ce systeme.
44. La quantite que nous avons designee par ill s'annule en tous les
points communs aux surfaces <I> = o, W = o, 0 = o, si ^> par exemple,
est divisible par 0; cela arrive en particulier lorsque les surfaces <J> = o appartiennent a un faisceau ponctuel de surfaces asymptotiques
0, -h ut<&.. = o, puisque alors ^ = 6$3(i, V), C 0) : il faut toutefois
(*) Journal de Mat/icmatiques, 4e serie, t. IV, p. 3ig.
que i + Y]a+ 'C2 reste fini, c'est-a-dire que les surfaces 4> = o, W — o n'aient aucun point eommun sur le cercle ii I'infini.
En excluant, comme plus haut, ce cas particulier, nouspouvons dire, puisque, si iil> est nul, a, (3, y disparaissent dans K, que :
Un systeme compose de deux surfaces de meme degre el de deux surfaces asymptotiques decoupe sur une sphere des aires dont la somme algebrique reste. fixe, pour toule position de la sphere dans Vespace.
Cette somme est d'ailleurs proportionnelle au rayon.
Pour appliquer ce theoreme et le precedent, on ne doit pas oublier qu'un certain nombre des aires considerees peuvent etre imaginaires, et qu'elles sont en tout au nombre de 2 pq, p et q etant les degres des systemes de surfaces secantes.
45. Exemples. — Imaginons qu'on deforme homographiquement un tore annulaire sous la condition que les sections normales a l'axe deviennent des couples d'ellipses situees dans des plans paralleles : on obtient une surface S, qui decoupe sur une sphere quatre aires fermees dont la somme algebrique ne depend pas de la position de la sphere.
Car on peut decomposer 1'anneau obtenu en anneaux infinimeni petits, compris respeclivcment entre deux des plans paralleles de la serie consideree, et deux cylindres ayant pour bases sur ces plans des ellipses; le theoreme etant vrai, par ce qui precede, pour un de ces anneaux, est vrai pour 1'anneau total.
On obtient un systeme jouissant de la meme propriete en considerant le solide limite par deux ellipsoides, dont l'un est interieur a l'autre, et par deux plans paralleles; et, plus generalemcnt, toute surface engendree par une conique dont le plan reste parallele a un plan lixe.
De meme, on peut prendre le solide limite par deux ellipsoides homothetiques et deux plans quelconques.
40. Des propositions analogues s'obtiendraient pour les sur faces de direction, c'est-a-dire telles qu'en chacun de leurs points le radical sj f'J -\- f 'y H- f'g soit egal a une fonction rationnelle; nous nous reservons de revenir sur cette question dans un autre travail.
SUR LK THEOKEME d'aBEL. 4^5
