III. — Aires ellipso'idales

ZONES ELLII'SOIDALES A BASES PLANES.

47. Lcs formules demontrees dans la premiere Partie de ce Memoire conduisent egalement a des resultats remarquables relatifs a certaines aires ellipsoidales, limitees par des courbes algebriques; mais, avarit d'aborder la question dans toute sa generality, il nous sera utile d'etablir directement le plus simple de ces resultats, en nous appuyant sur des considerations geometriques elementaires.

La proposition que nous avons en vue est relative a l'aire comprise sur un ellipsoide quelconque entre deux sections planes, le long desqnelles on peut circonscrire a rellipsoide un cone de revolution; on sait que les poles de ces sections planes, c'est-a-dire les sommets des cones de revolution circonscrits, ont pour lieu l'hyperbole locale.

Soit done E l'ellipsoide

l'hyperbole focale a pour equations

Le plan polaire P.d'un point (x, z) de cette hyperbole a pour equation

Xa? Zs

<sr c-

Proposons-nous d'evaluer l'aire de la zone ellipsoidale comprise entre ce plan et le plan polaire P', d'un point (x -+- dx,z + dz) infiniment voisin du premier sur l'hyperbole focale.

A cet effet, projetons la zone sur un plan normal a l'axe du cone de revolution de sommet (x, z) circonscrit a l'ellipsoide E : il est clair que l'aire de la projection est egale a la difference des aires des projections, sur le meme plan, des sections planes faites dansE par les plans P etP'. Or, en appelant da l'aire de la zone, et 0 Tangle que les plans tangents a l'ellipsoide le long de la section P font avec l'axe du cone, on a pour la

CEUVRKS DU 0. HUMBERT, T. I.

{66 OKUVIiES DE GEORGES HUMBERT.

zone projetee la valeur di sin G; d'autre part, en designant par co l'aire de la section P, par o> + r/to celle de la section P', par ~k et X' les angles des plans P et P' avec l'axe du cone, il viendra

du sin = (co -+- dd)) sin A' — co sin / .

L'axe du cone est, comme on sait, la tangente en (a?, z) a 1'hyperbole focale; ses equations sont done

~ °' cr — tV ~~ — '

et, par suite,

c2(a2 — b'-)xz + a2(62— c2).ra

sin A =

et,

sin V— c2(a-— b2) {x + dx) z -t- a2(62 — c2) (a 4- <afe)g

~~ y/[ c* ( .r -+- <lr )2 + a* ( z rfs )2 ] [ ( «2 — ^ )2 -=2 + ( b2 — c2 )s .z2 ]

Posons, pour abreger,

G =(a2— c*)*ar*,

II — C4^2+ rtvS2,

et developpons sin A' suivant les puissances croissantes de cte et dz; il vient

. , , . , c2z (a2 — b 2) dx Sin A' = sin A H j — -— ^