G* IP
a2x(b'2 — c2) dz b-la2 — c2) . , , . , .
- — : xz (c*xdx -+- alx dz);
sin 9 se calcule sans difficulte, et Ton trouve
sin 0 = —t (a2— b2f(b2—c2f.
On a done da, au second ordre pres, par la formule
b(a%— b2)2{b2—c2)*da
= b2(a2 — c2)~dw + ^T[c2(a2 — b2)zdx + a2(b2 — c2)xdz] H2 R2
^ cV(«2 — c2) xz {c% x dx + «4s dz),
SUR JLE TIlfeOREME d'abEL. 46"
L'aireco de la section de l'ellipsoide par le plan P a pour valeur
bE* D
en posant
E = c-x-->r cPz1 — a2c2, A — c2 x~ + a2.z2.
On en deduit
rfw = -^fAH.rfA + -AE.rfH — -EH. rfA Y
puisque rfE = rfA; on peut ecrire, en introduisant w,
T-m^AH.rfA + -AE.rfH--EH.rfA AHE V 2 2
Transportant cette valeur dans l'expression de da, il vient, en remarquant que la quantite c"xdx 4- a" zdz est egale a^rfH,
6 (a2— &*)-'(&« — c2y-da
= ~{ci(ai— b^zda; + «2(62 — c2) j; rfs] H-'
CO
AEH c'est-a-dire,
(a2— b-Y(b*-— c!)^rf<T
| 62(a2 — c2) j?s ^AH . rfA — ^ EH . rfA
= ^[AEc2(«!- b-)zdx + AEa2(62— c2)#rfs
+ ^//(a!-cs)^(3a!c!-A)rfA].
On peut exprimer rfA en fonction de rf.r et dz, et ensuite rfs en fonction de dx, puisque x et z sont lies par l'equation
il vient ainsi, apres un calcul facile, en remarquant que A = E + arc2,
do \ja b ni cldx aA1 A(6*3aI61 36ScS|5a,cS)
48. On a done, puisque x et z sont lies par la relation (2), une differentielle elliptique en x; il est aise de la reduire. Des identites
a- — c- ,/xz\
f 1 = -^-[— A2 — 2k(a2b--h b-c2 — 2aic2)
-hi a*c*(a*—b*)(b'—c9-)]
b- a- — c2 Jxz\ dx \ A- , , „~|
on conclut
da \Ja-—b- a2 — 6! / , , .r- — dx
(3) S = t:62 rR-«
. . xz\
AV
et, si Ton pose
8 = Tibia2— b2f{b2— cs)s \AJ
il vient
(4) rt'S — d<7 = izi/—n %, (c-x2 -+- a2z2 — arc2),
x et s etant lies par la relation , ' — rr- — ; = r , et A etant egal a
c2;r2 h- a2sa. La differentielle elliptique qui figure au second membre est maiutenant ramenee aux differentielles de premiere et de seconde espece.
49. Avant de l'etudier de plus pres, nous devons signaler une interpretation geometrique remarq Liable de la fonction designee par S : cette fonction reprcsente Vaire du cone de sommet (x, z) circonscrii a Vellipsoide, Voire etant prise enlre le sommet et V ellipse de contact.
En effet, si Ton projette l'aire en question S et la conique de contact sur un plan normal a l'axe du cone, cone de revolution comme on sait, il vient, en gardant les notations employees plus haut,
S sin 9 .= ta sin 1,
d'ou, en remplagant 00, sinO, sinX par leurs valeurs, trouvees deja,
EH" b2(a2 — c2)xz 1
S = itb
SUR LE THEOREME n'ABKL. 4^9
c'est-a-dire
izb-(a- — c-)
(a2 — b*-f(b*— c2)'- |AS ce qui coincide bien avecla valeur de la fonction S ecrite plus haut.
