Revenons maintenant a la relation

.„ , lb- — c- dx r , , . . . . ah — a<j = 7r t / - \ c-x- -+- a- — a -c- J,

et transformons le second membre en introduisant les fonctions elliptiques.

Posons a cet effet

36sc2

(5) < et = i

On a > e2 > e3 et e{ + e2 -+- e3 = o.

Si Ton considers la fonction pu, detinie par la relation habituelle

(p'2 u == 4 (p a — e{) (,p u —ei)(pu — e3),

on peut poser

on a bien, en effet,

On en conclut

(7) A—c-x-+ a-z-=^(p ii — e2),

Les equations (6) donnent les expressions, en fonction d'un para-

metre u, des coordonnees d'un point de l'hyperbole focale; a chaque point (x, z) do l'hyperbole correspondent, puisque pu est une fonclion paire, deux valeurs de u egales et de signes contraires.

Si u varie de o a ia demi-periode reelle co, pu varie de + oo a e,, et il resulte des formules (6) qu'on obtient ainsi tous les points reels de l'hyperbole. Pour les points de l'hyperbole exterieurs a l'ellipsoide, on aE>o, e'est-a-dire pu^> i : soit u0 la pins petite racine positive de l'equation pu0 — i =o; on peut dire que, si le point (x, z) part d'un ombilic de l'ellipsoide et s'eloigne a 1'infini sur la^branche de l'hyperbole focale qui passe par cet ombilic, 1'argument correspondant positif u decroit de u0 a o (*).

Supposons, pour fixer les idees, que le point (x, z) decrive ainsi la branche de Thyperbole focale situee dans Tangle positif zOx \ on a