III. — Arcs des courbes de direction

14. Les courbes de direction sont, d'apres Laguerro, les enveloppes de droites ayant un sens determine; leur equation generale, en coordonnees tangentielles rectangulaires, est u1 + v- = R2(«, v), R etant une fonction rationnelle de u et v.

L'arc d'une telle courbe s'exprime par une integrate abelienne appartenant a la courbe ; les formules du theoreme d'Abel s'appliquent done immediatement a l'expression de la somrae des arcs intercepted, par deux courbes quelconques de meme degre, sur une courbe de direction fixe.

Le Memoire 17, apres quelques generalites sur les courbes de direction, et la determination des lignes de direction du troisieme degre, donne, relativement aux arcs, de tres nombreux resultats dont voici les plus saillants :

Sur une courbe de direction n' ayant que des asymptotes distinctes, non isotropes, la somrne algebrique des arcs intercepts par deux courbes quelconques d'un mime degre est egale a la somme des segments que ces courbes interceplent sur les asymptotes de la proposee.

Sur une courbe de direction d'ordre 2n, admettanl comme point multiple d'ordre n, a tangentes distinctes, chacun des deux points cy cliques du plan, la somme des arcs interceptes par deux courbes quelconques d'un mime degre est egale a la somme des arcs que ces courbes interceptent sur n cercles, lies invariablement a la proposee.

Ce dernier theoreme, lorsque les courbes secantes sont deux droites, generalise une des proprietes fondamentales du cercle, celle de la mesure des angles :

La somme algebrique des arcs interceptes sur la courbe de direction precedente par les deux cotes d'un angle est proportionnelle a la grandeur de cet angle el independante de sa position dans le plan.

OIUYRF.S DF, GFORCFS HUMI1KRT.

15. Par mi les courbes de direction, il en esl de particulierement remarquablcs : en cherchant, en efFet, a determiner les courbes algebriques sur lesquelles l'arc est une integrale abelienne de premiere espece, j'ai trouve que ce sonl les courbes de direction n'ayant pas d'autre point a I'infini que les points circulates; il la u t et il soffit, de plus, qu'en chacun de ces deux points multiples, suivant la terminologie connue d'Halphen, la courbe ne presente que des cvrles dont la classe surpasse I'ordre. Par exemple, si les tangentes aux points circulaires sonl dislinctes, chacune d'elles devra etre tangente d'inflexion pour la branche correspondante.

Sur une de ces courbes remarquubles, deux courbes quelconques d un meme degre interceptent des arcs dont la somme algebrique est nulle.

On ne rencontre pas de courbe de cette nature avant le sixieme degre ; la plus simple a pour equation polaire p3 — a3 cos3co.