IV. Aires spheriques
16. Voici les deux resultats fondamentaux sur cette question (18) :
Soient deux surfaces quelconques de meme ordre p et deux autres surfaces de meme ordre q : la somme algebrique des ipq aires que ce systeme decoupe sur une sphere de rayon R est e'gale d ioRd; p elant tin coefficient dependant uniquement du systeme des quatre surfaces primitives, et d designant la distance du centre de la sphere a un plan lie invariablement a ce systeme.
Un systeme, compose de deux surfaces quelconques de. meme ordre el de deux autres surfaces asymptotiques entre elles, decoupe sur une sphere des aires dont la somme algebrique reste fixe pour toutes les positions de la sphere dans l espace : elle est egale au produit du rayon par un paramelre qui depend uniquement des surfaces primitives.
17. On comprend, sans qu'il soit utile d'en donnerdes exemples, a quelles varietes d'applications se pretent ces deux theoremes generaux ; par une methode elementaire (26, 27, 28), j'ai etabli des propositions He meme nature, qui constituent I'extension a la sphere de la propriete
NOTICE SUR LFS TRAVAUX SCIENTI F IQV F.S \)K GEORGES HUMBERT . 2 1
si simplo et si remarquable que presehte la circonference de cercle pour la mesure des angles situes dans son plan. Voici 1'enonce exact :
18. Un cone decoupe, sur une sphere concentrique de rayon un, deux aires symetriques; appelons plan d-1 orientation du cone le plan mene par le sommel normalement a la droite qui joint les centres de gravite de ces deux aires, et module le produit de la distance des deux centres de gravite par la valeur de Tangle conique.
La difference des deux aires que decoupe, sur une sphere de rayon R, un cone, dont toules les generatrices coupent la sphere, est egale a 2pR^/, p etant le module du cone el d la distance du centre de la sphere au plan d' orientation.
^application aux angles polyedres et aux cones du second ordre donne des resultats interessants.
19. La valeur du module d'un cone de second ordre me permet de calculer la difference des aires decoupees sur une sphere par une quadrique; on arrive a des resultats curieux et inattendus.
Soit Ma?2 -+- Nj- -+- Pz2 = K I'equation d'une quadrique rapportee a son centre et a ses axes; appelons module corrcspondant au plan principal z = o la valeur absolue de la quantite
