x ax — ~- — ; p u da

So- a- — c2 r

D'apres les hypotheses qu'on vient de faire, x et dx sont positifs, du est negatif : p'u sera done negatif et Ton devra ecrire

p'u — — 2 v/(p« — ei)(pu — e2){pu — e3).

II vient ainsi, en resolvant l'equation precedente par rapport a dx, et remplacant x par sa valeur en u,

/p ai i)i j

•dx — ~ V/3 a.__c2 l^Vu— ei)(pu — et)du,

et, par suite, en portant dans 1'expression (4) de dS — du les valeurs en u de x, z, A, E, dx, on aura

c/S — do — — 7i y/ 1 (pu — i ) du,

e'est-a-dire, en integrant,

S — c = — 71 \/ o / (P 11 — i)du.

Si Ton integre entre u0 et u, on aura, puisque S et a sont evidem-

(!) II est clair que l'equation p«0-[ = o a des racines reelles, puisque ei est inferieur a i.

SUB. LE TIIEOHEME n'ABEL.

ment nuls quand le point (x, z) est a Tombilic, (9) S — u = 7:4//£ -1- « — C"o— »o

Dans cette formule, a est l'aire de la calotle ellipsoidalc PGQ; S l'aire laterale du cone PMQ (Jig. 5).

Fig. 5.

Si le point M, (x, z) s'eloigne a l'infini sur la branche d'hyperbole focale GM, son plan polaire, PQ, tend vers la position RT, le plan RT etant le plan diametral conjugue de I'asymptote OV : S devient alors infini, ainsi que puisquc u tend vers zero, et les deux membres de la relation (9) sont infinis. Pour etudier la question de plus pres. ecrivons la valeur de S en fonction de u. On a trouve

d'ou

s = Try/f (P" —

(p" — ei)-(pu — eiY

Lorsque u tend vers zero, on a, en remplacant pu par-^ +/vr

L'aire cr tend vers l'aire de la calotte RGT, c'est-a-dire vers la moitie, S0, de l'aire totale de 1'ellipsoide; enfin '(a est de la forme

~ 4- k'u* -+- — Portant ces valeurs dans (9), il vient

Les termes infinis disparaissent. et, a la Iimite u tendant vers zero, il reste

On a done finalement, en remplaeant 'Cu0-hu0 par sa valeur en fonction de S0, dans (9),

S-4-20-(j = 7ri/|(C«+«).