Ce resultat peut s'enoncer ainsi
Soit tin cone de revolution circonscrit a un ellipsoide, d\ixes ia, ib, 2 c : Vexces de Voire Interale de ce cone, limite a son sommet et a C ellipse de contact, sur I'aire de la calotte ellipsoidale comprise a son inte'rieur, a pour expression
D0 etant I'aire du demi-cllipsoide, u le plus petit argument positif de/ini, en fonction des coordonnees x et z du sommet du cone, par les relations compatibles
db* a2— c2
et etant pose
(ptt — Cj),
Zb-c* Za-c"e, = 1 > e2 = 1
P P e,--\ ■-. : ) p = a2 b* + a2 cl + 6' c2 :
5 e.tf d\iilleurs donne, en fonction de u, par la formule
s=«i/i(p»-")<JUf^ft)l(|,B'r<s')V-
On voit que S est algebrique par rapport a pu, c'est-a-dire par rapport aux coordonnees du sommet du cone.
52. De cette formule on deduit immediatement I'aire de la zone comprise entre les plans polaires de deux points de I'hyperbole focale, lorsque ces deux points sont sur une meme branche de I'liyperbole et dans le meme angle des axes Ox et Oz; on a, en designant par et u2 les arguments pos i til's correspondant a ces points, par S, et S2 les aires des deux cones circonscrits, et par I 1 aire de la zone cherchee,
S, — S, + I — it y | (Ki't — O2 + a i + "2).
. M;iis cette formule, a cause des hypotheses faites sur u, ne convient
plus au cas de deux points non silues dans le meme angle des axes.
Pour I'etendre a tons les cas, nous definirons ['argument de telle
sorte qu'il varie d une maniere continue tout le long de I'liyperbole
focale : remarquant a cet effet que (pu — e,)2 et (pu — e.t)2sont egaux h—(u) et-^(u), nous poserons, (x, z) designant toujours un point de I'hyperbole,
by 3 a2— c2 ttv' ~~ b V
v etant un nouvel argument egal a ± u, et les deux radicaux etant pris positivement. Si 200 et 200' designent, comme d'habitude, les periodes reelle et imaginaire de pu, les periodes communes aux fonc-
tions ^ et ^ s'eront 4W et 4(0'5 et a un point (a?, z) de Phyperbole
focale correspondent, dans un parallelogramme 4W et 4^', deux arguments de la forme de v et — v -+- 2(0 -+■ 2 0/, dont le premier seul est reel ; c'est cet argument reel bien defini que nous ferons correspondre a un point de I'hyperbole; nous le supposons compris, ce qui est permis, entre — 3a> et w.
Cela fait, en posant
(EUVRFS DE G. HUMBERT, T. I.
Till
OKU V RES DE GEORGES HUMBEUT.
et
9(v) =S -+r 20 Try/l (Co + p),
on demontre aisement que la zone ellipsoid ale 2 comprise entre les plans polaires de deux points, d'argumenfs cn f>2> (1° l'hyperbole focale a pour expression
lorsque les deux points sont dans un merae angle des axes on dans deux angles opposes. Si deux points sont dans des angles adjacents des axes, il faut ajouter a 2 ou en retranclier la constant e
2TT l/| (rj + w),
V) etant la constante £co.
Dans tous les cas, on peut dire, puisque ,s est algebrique par rapport aux coordonnees des deux points, que 2 est egale, a une quantite algebrique pres, a la fonction £t>2 — 'Cvt -h <>2 — ( i> et, par suite, les zones qui correspondent a des valeurs de v.2 et vt telles que (p2 — e,) reste constant sont egales entre elles, a une fonction algebrique pres, car Cf>2 — tv{ est egal a 1 {v2 — v,) augmente d'une quantite algebrique en pv2 efpvy
On a ainsi une propriete analytique, analogue a celle des arcs de conique et dont il est aise de trouver une interpretation geometrique.
53. Les plans polaires des points (.&, s) de 1'hyperbole focale, par rapport a l'ellipsoide E, enveloppent un cylindre hyperbolique ; si X, Z designent les coordonnees du point ou le plan polaire de (cc, s) touche la trace de ce cylindre sur le plan xOz, on trouve aisenient
x — ai — z — — °2 gyp ,
Considerons maintenant l'hyperbole H, intersection du cylindre precedent par un plan mene par le grand axe, Or, de E, el faisanl
avec le petit axe, Oz, un angle de cosinus egal a -: les cercles de ce
plan se projettent sur le plan z-O.r selon des ellipses homothetiques a la section de E par zO v. Les coordonnees d'un point X,, Z, de l'hyper-
SUR LE THEOKKME d'auEL. 4~5
bole H,, rapportee a son centre et a ses axes, auront pour expressions
x — x — a* a*y . j : — i \ — ac £j v
L'arc s de l'hyperbole H, a une expression remarquable; on a en effet
ds* a,bt(a,,— ci) dv"2 ~ {a2— bi){b*—c'i)
d'ou
M et N etant des constantes.
On voit ainsi que, si v^—vl reste constant, les arcs correspondants de l'hyperbole H, seront cgaux entre eux, a une fonction algebrique pres; en d'autres termes, deux zones ellipsoidales auront une difference algebrique si les arcs correspondants de H, jouissent de la meme propriete.
Or on sait que, si d'un point d'une hyperbole homofocale a H, on mene a cette derniere courbe deux tangentes, les arguments v2 et i>, des points de contact out une difference constante : c'est l'expression analytique du theoreme de Graves et Chasles. On pent dire aussi, d'apres une propriete connue des coniques, ([lie deux arcs de l'hyperbole H, out une somme algebrique rectifiable lorsque les tangentes a leurs quatre extremites louchent un meme cercle; ces tangentes etant les traces sur le plan de 11, des quatre plans qui limitent les deux zones correspondanles, i-l en resulte immediatement la proposition suivante :
r)4. Appclons zone ellipsoidale la zone comprise sur I'ellipsoide entre deux ellipses le long de chacune desquell.es on pent circonscrire a cette surface un cone de revolution .
Les aires de deux zones ellipsoidales ont une somme on une difference exprimable algebriquement lorsque les quatre plans qui limitent ces zones louchent un cercle sitae dans un plan passant par le grand axe et
faisant avec le petit axe un angle de cosinus egal d -•
Ou, si Ton veut, en vertu de la re marque f'aite sur la projection d'un tel cercle :
Les aires de deux zones ellipsoidales ont une somme ou une difference
a* IP (a*— c*) { a* — b- ) (/>■"■ — c*
exprimable algebriquement lorsque les quatre plans qui les limitent touchent un ellipsoide homoihetique a I'ellipsoide primitif.
ZONES DE LEBESGUE ET DE JELLETT.
55. Les zones a bases planes qu'on vient d'etudier sont les aires ellipsoidales les plus simples qu'on ait pu ramener jusqu'ici aux integrates elliptiques; un autre exemple a ete donne il y a longtemps par Jel left (' ) et par Lebesgue (2).
Le lieu des points d'un ellipsoide on La normale fait avec l'un des axes principaux de la surface un angle donne se compose de deux boucles fermees, symetfiques par rapport au centre, et c'est l'aire comprise sur I'ell ipsoide a l'interieur d'une de ces boucles que Jellett et Lebesa;ue ont calculee.
La methode de Lebesgue est bien connue; si Ton designe par Q l'aire comprise a l'interieur d'une des boucles correspondant a la valeur <p de Tangle (Taxechoisi etant, par exemple, I'axe Oz), par w la projection de cette aire sur le plan xOj, on aura
Ju co^cp \coscp/0 J0 \coscp/
On oblient aisement co, qui est l'aire de l'ellipse suivant laquelle la boucle consideree se projette sur le plan xOy :
' i lang*op / I tnng'-'cp
d'ou
, tangscp / i tang5 <n nabc — - — H — -
i lang2cp\;J/ i tang'tpX2/ i lang2cp\sl
a1 c* ) \b nabc
'It
tang3cp ^ tang<
tangscp\2/ i tang2<p\2/ i lang2cp^i
ft3 H c2"
(') Cambridge and Dublin mathematical Journal^ t. I, p. 57. (2>) Journal de Mathematiques, i" serie, t. XI, p. 33 1 .
SUR J.E THEOUEME n'ABEL. 477
L'integrale du second membre se ramene anx integrates elliptiques en prenant La"^ ^ pour variable, et Ton a ainsi l'expression annoncee de CI.
Lebesgue dcduit immediafement de cette formule que trois zones, correspondant a des angles cp, cp', cp" fails respectivement par les normales avec Oz, Oy et Or, auront leurs differences deux a deux pla-
nifiables si Ton a la"°? = '""^ — taf>8? : l'integrale elliplique qui
figure dans l'expression de Q, est en efTet la meme pour les trois zones. C'est le premier, et jnsqu'ici le seul exemple connu d'aires ellipsoidales a difference algebrique; nous en avons fait connaitre un second dans les paragrapbes precedents.
56. Avant d'en donner un troisieme, beaucoup plus general et plus important, nous ecrirons la formule de Lebesgue en introduisant les fonctions elliptiques. II suffit de poser, en gardant les notations des paragraphes precedents,
tanffJcQ p
pour trouver
v UP" — e>) (*>" — e*) J'»
Les fonctions elliptiques sont les memes que celles envisagees plus haut et de plus la partie transcendante de £2 est identique a celle qui figure dans l'expression de la zone ellipsoidale.
Dans cette formule, u0 est toujours la plus petite racine positive de l'equation pu — i == o, qui correspond a cp = o.
En observant que tz y/| (C,u0 + u0) est la demi-aire 20 de I'ellipso'ide (i i), il vient
expression tout a fait analogue a celle de la calotte a base plane. On peut dire aussi qu'a toute zone de Lebesgue est associee une calotte a
Ol.UVRES DE GEORGES HUMBEIiT.
base plane telle que la difference des deux aires soit planiliable, le plan de base de la calotte etant defini algebriquement en t'onction des lignes trigonometrigues de Tangle correspondant a la zone.
Nous n'insisterons pas davantage sur les courbes de Lebesgue, que nous allons retrouver comme cas partic ul ier de courbes plus generales.
A IKE D'UN PARALLEI.fi.
.")7. Appelons sur I'ellipsoide, parallele, d'axe D et d'angle :p, le lieu des points de la surface oil la normale fait un angle <p avec une droite D issue du centre (') : un parallele se compose de deux boucles fermees symetriques par rapport au centre; l'aire comprise sur l'e 1 1 ipso i ci e entre ces deux boucles sera Yaire du parallele.
Les paralleles dont Taxe est un des axes de I'ellipsoide sont precisement les courbes de Lebesgue.
C'est pour evaluer Yaire d'un parallele que nous allons faire appel aux formules de la premiere Partie de ce Memoire.
Soient
(1) A x- + By* -\- Cz2 — i = o
l'equation de I'ellipsoide; /, m, n les parametres directeurs de l'axe d'un parallele; 9 Tangle correspondant : la seconde equation du parallele sera
cos'cp (A-x' + B2y2 + C2zl) — *■ (Mx -+- Bmy 4- CnzV.
Nous Tecrirons
(2) k2x2 + U^*-f-C,5*- «2(a.r-+- +- yz)*=o,
en posant, pour siinplifier Tecriture,
(3) A/ = a, Bm = S, C/i = y, u1— — — — l- — — •
Supposons/, m, n, e'est-a-dire a, (3, y fixes, et coscp, ou //, variable; les paralleles envisages auront le meme axe, et soient deux de ces paralleles, correspondant aux valeurs // et u -+- du.
(l) Cette definition est due a Lebesgue, lor. cit.
SUR LE THEOREM*: n'ABEL. 479
Eii coupantces courbes par deux plans infiniment voisins, (4) P+ («' + rfi»)Q = o, P + i>Q = o,
passant par une droite fixe, P = o, Q = o, menee par le centre de 1'ellipsoide, on determine sur cette surface, entre lcs plans et les paralleles, quatre aires infiniment petites dont la somme s'evalue aisement.
L'element d'aire sur 1'ellipsoide a pour expression
cla —. dx ay
on, en prenant u et v pour variables (n° 30),
(h— du dv ^/A^.r2 + B2/2 -r <^2 z! ■-- ' - ,
A etant lejacobien des premiers membrcs des equations (i), (2), (4). En chaque point des quatre aires infiniment petites considerees, on
peut remplacer y A-x'2 -+- B-j- -+- O' z- par u(v.x + $y -h ys); d'apres 1'equation (2), il vient alors
Pour avoir la somme des quatre aires, on devra sommer ['expression 4 ^(«« H- fry -h y = )3 pour les quatre points communs aux surfaces (1), (2), (4); si de plus on suppose que la droite P = 0, Q = o rencontre 1'ellipsoide a Pinterieur des boucles fermees qui correspondent aux paralleles u{ et 11 ('), on obtiendra Paire comprise entre ces deux paralleles en integrant la somme precedente entre les limites - 00 et -f- 00 pour c; ut et u pour 11. On a done, en designant Paire comprise entre les deux paralleles par n,
(') Cette condition, qu'on peut toujours supposer realisee, est necessaire pour que lous les elements da entrenl positive uiei»t d;ms l'expression de <r : on le volt en appliquant la regie du n" 30, reclifiec par !a note (2) de la premiere page de la deuxieme Panie de ce Metnoire.
48o 0ET7VHES DE UEOllGES HUMBERT.
La somme qui figure au second membre s'evalue a I'aide de la formule (8) du n° 20; on a ici k = 3, et il vient
fi yQlcu + Py + ys)^ i -y d* Q(i, n. C, 6)\« + 6r) +
^ A 2Zrfrf&* (P+?Q>[/i<Pc-/fc.?i,]
Pour appliquer cette formule, on a suppose
/= A.rJ -+- Bj2 + Cis — i,
cp = A2jc!+ B2j2 + C2=J— £/s(aaj + 3/ + ys)*;
on se rappelle que yj, 'C, 0 designent -> -> -> £ etant la variable d'homo-
geneite; la somme du second membre s'etend mainlenant aux points communs aux surfaces /(i, r\, 'C, 0) = o, <p(i, yj, 0) = o, 6 = o; et Ton y doit fa ire finalement 8 nul.
Les coordonnees de ces quatre points sont independantes de v, et, par suite, dans l'equation
l'integration par rapport a c pourra s'effectuer de suite. On peut ecrire, si Ton veut, puisque u est independant de 0,
et l'integrale indefinie par rapport a e est de la forme
Soieut P, et Q, les valeurs des functions P et Q en Pun des quatre points auxqucls s'etend la somme; supposons que, dans le plan
des quantites v, le point dont Paffixe est — soil au-dessus de I'axe
des x; en integrant la function ^ — — - ~ le \ons du contour ci-contre,
J p^+JcpT7q=2™'
on aura
r SUH LE THEOREMS d'aBEL. 48 1
r etant le residu q-» relatif au pole — ^y- Quant a I'integrale J > on
Fig. 6.
voir aisement, en supposant que le rayon du cercle C augmente indefi-
niment, qu'elle est egale a on a done
r+x dv
P-+-«'Q + gT
Si le point d'affixe — ~ avait ete au-dessous de Ox, on aurait trouve
r+x de -K'i
II vient done
le signe a choisir etant celui du coefficient, de i dans — jj-; et, par suite,
la somme etant toujours etendue aux quatre points communs aux surfaces /= o, <p = o, 0 = o. II est a remarquer qu'on aura dans le second membre deux signes + et deux signes — , car, les quatre points etant imaginaires conjugues deux a deux, les parties imaginaires des quatre P c
valeurs de — ^ sont deux a deux e»ales et de sicrnes contraires. Q o o
58. Pour calculer I'integrale par rapport a u, faisons un changement de variable en posant
CEUVHES DE 0. HUMBERT, T. I.
482 OtUVRES DE GEORGES HUMBERT.
Y] et csont des fonctions des variables u et 0 definies par les relations
j f(n, ?) =A + Bn2 + CC2 - 9s = o,
(to)
6 est d'ailleurs une variable independante de 11, qu'on doit faire finalement egale a zero, apres avoir effectuG I'operation J^- On tire de la, en supposant 0 constant,
Adrt -f ftdZ =0,
cfc} + 9'; dK = 211 da (a + fin + yZ )2,
d'ou, en eliminant dq et d£,
udu(a^-fin-^yK)t U dU
fWz—A?'-n ~~ 4 o?BC(C — B) '
II vient ainsi
a-JL±^W*J BC(C-B)„f' y] et 'C etant des fonctions de U et 0 definies par les relations
( A + B-o2+ CC!= 9\ ) A» + B'-tf-H C'?2= U2,
et la somme s'etendant aux quatre valeurs de rj, £ definies par ces equations, dans Thypothese de 0 = o. II ne f'aut pas oublier que U n'est pas independant de 0 ; on a
(12 bis) U = u(a + fin -+- y£),
u etant independant de 6.
Soient U, et U les valeurs de U correspondant a us et u\ on a
n.dV
Or on a, en differentiant par rapport a 0 les relations (12) et (12 bis),
SUR LE THEOREMS d'abEL.
m ~~ a d ~~ dd ~ 0
On en conclut et, par suite,
-^jr se calcule aisement; en differentiant deux fois par rapport a 6 les relations (12) et (12 bis), on trouve
d dQ U» d^l ri; dB1
dO yiC
II vient ainsi
En C£ 1
d*U dd* d2U
IF
Or on a, en tirant Y)2 et 'C2 des relations (12),
Posons, pour abreger,
