Employons maintenant les fonctions elliptiques. Soient

36'2c2 3«2c- 3a262 e, — 1 , » ea = 1 > e3 — 1 ;

On peut poser, en introdnisant la variable definitive, v,

1 p (ej— «?,) (e, — <?,)

d'oii, en calculant U par la relation U2 — A2 = AX et yj, '( par les equations (i4)>

SUR LE THKORKMF, D AUEL.

Posons egalement, pour la syrnetrie des notations ulferieures, /, m, //, (I esignant toujour* les parametres de l'axe du parallele,

bsJP-

h ni1 -+- n'-

Les valeurs de q et '( en fonction de v sont depourvues d'ambiguite; quant aux fonction s et pv elles sont fonctions algebriques de yj, u et par suite d'apres (12) et (ii bis) des parametres du parallele. Observons maintenant qu'auxquatre couples de valeurs yj, '( qui figurent dans l'expression (i5) de a, et qui verifient l'equation

correspondent, en vertu de (16), quatre valeurs de v, verifiant l'equation

p 1 ^ oca {

3 abcu I i 1

3 b yc

(e2 — e,)-(e2 — e3)2 (e,— e ,)2 (es — e2)a

qui, en remplacanl a, (3, y, a par leurs valeurs (3) en /, m, n, coscp,

et tenant couipte de (16 bis), devient

/ . cos 9 . , ,

(17) 4V — liJi (' + /23V' + lt<StV.

Observons que /, et l3 sont reels et que A, est purement imaginaire, d'apres (16 bis).

Portant les valeurs de A, U, yj, '( dans (i5), il vient