SUR LE THEOREME ISABEL
INTERPRETATION GEOMETRIQUK DE LA FORMULE I)E l'AIRE d'uN PARALLELE.
60. Soit II un parallele d'axe D (/, m, n) et d'angle o, sur l'ellipsoide(E); considerons la developpable circonscrite a (E) le long du parallele. Les plans tangents de cette developpable sont paralleles aux plans tangents du cone de revolution dont 1'axe est la droite D, et le
demi-angle au somraet Tangle ^ — 9; on peut done dire que la developpable est circonscrite a E et a la sphere de rayon infini inscrite an cone; cette sphere a pour centre le point kl, km, kn et pour rayon kr, k etant un parametre tres grand et r etant defini par la relation
/ - = (/2+ m'+ n2) cos2 (p.
Or on sait que la developpable circonscrite a une quadrique (E) et a une sphere a ses quatre coniques doubles sur quatre quadriques homofocales a (E) ( Chasles); nous avons montre, dans un autre travail (' ), • que (E) etant la surface
et la sphere ayant pour equation
on obtiendra les quatre quadriques homofocales par l'equation
oil 0 est une des quatre racines de l'equation
^ ^ JL. , - R!
a*+ 6 b2-hd c2 + 9 ~ 9 '
Dans le cas actuel, en remplacant a?0, y0, z0, R par kl, km, kn, kr et faisant k infini, on voitque l'equation en G se reduitau troisieme degre; ce fait pouvait se prevoir, car une des lignes doubles de la developpable est a 1'infini, les tiois autres sont sur les quadriques
(') Bulletin de la Socicte inalhematique de France, t. XIII, p. 99.
oii 0 est une des trois racines do {'equation
(2,) ^Te + T^re+ ^Te = e cos
Une et une seule de ces racines est positive, comme on le voit en substituant — a2, — b2, — c'1 et o ; les deux autres sont reelles et negatives, comprises respectivement entre — a2 et — b2, — b2 et — c2; en d'autres tennes, les trois coniques doubles sont situees respectivement sur un hyperboloide a deux nappes, sur un hyperboloide a une nappe et sur un ellipsoide E(, ce dernier etanthomofocal et exterieur a l'ellipsoide (E). Les plans des trois courbes passent d'ailleurs par le centre de E et sont respectivement conjugues, par rapport a la quadrique homofocale correspondante, de la direction /, m, n (Chasles).
