Inversement, si sur un ellipsoide E
homofocal et exterieur a E, on prend une conique centrale quelconque, les plans tangents a cette conique et a E touchent E suivant un parallele d'axe I, m, n et d'angle z>; I, m, n est la direction conjuguee du plan de la conique dans I'ellipsoide E, et cp est lie aux parametria /, m, n par la relation (21).
62. Or on a cette propriete imporlante que, pour tous les paralleles ainsi determines, V ellipsoide E, reslant Jixe, les racines de 1' equation (17) en v ont deux a deux une somme constante, et inversement.
Soit, en eft'et, une equation de la forme
(22) /„. <jv + lx. + lt.<ftv + lt.<itv = o,
oil les / sont des constantes ; cherchons la condition pour que deux des zeros, e, et v.2, aient une somme donnee h. On aura alors, e3 et v,, etant les deux autres zeros,
a des multiples pres des periocles 4w, l\oi' .
Si Ton considere la courbe definie par les equations
3V CTif (SiV CJV''
SUR LK THEOREME d'aBEL. 4^9
c'est line courbe gauche du quatrieme ordre, de genre un, et il est conn u que la relation v, ■+- v2 — h exprime que la corde dont Irs extremites out pour arguments vy et*>2 decril une quadrique fixe passant [»arla courbe. En d'autres tonnes, le plan/„a? -t- l{cc{ -+- l2x2 -+- l3x3 o est tangent a une telle quadrique live, et recipioquement. Or des relations
on lire
*\v ■+■ e^v — <f?jf -+- 3*v— s\v -+■ et<s%v,
et l'equation de loule quadrique passant par la courbe sera • p.,(j,2+ e,.r2) -+- ^{x\-Y- eiX1) 4- /jl3(^2 + e,^-') = 0,
avec
Le plan l0x -+- . . . = o sera tangent a cette quadrique si Ton a
(24) ii + k+ ii-i- . -h =0.
f*i Pi H» e\ P-t H— e2 H-» —I— esH-s
La condition pour que deux racines de (17) aient une somme conslante est done, en tenant compte de (23), et en introduisant /, m, n, ii la place de /, , L, l3,
f7, (a2- 62)(a2 — c2) + pt (62 — a2) (6* — c2)
1 n* cos2cp(/2 H-nt' + n1)
p., (c2 — a2) (c2— bl) ~~ b*c*p.i -t- a^c1^-^ a262f/3'
U- , , [x2, [i3 etant trois quantites de somme nulle, et le rapport de deux d'entre elles etant d'ailleurs fonctiori de la valeur de la somme constant r.
Pour demontrer la proposition enoneee, il sul'tit de prouver (ju'un peut toujours trouver une quantite 0, telle que cette relation soil iuentique a l'equation (21) qui lie /, m, n, 0 dans le cas oil l'ellipsoide E, est fixe.
On montre aisement qu'il en est ainsi, la quantite 0 etant definie par l'equation
(EUVRES DK O. HUMBKKT, T. I. 62
63. II resulte de la que, si les racines de F equation (17) en v ont deux a deux une sonime constante, la developpable circonserite a E le long du parallele correspondant a une de ses lignes doubles sur une quadrique fixe, homofocalea E; pour quecette quadrique soit un ellipsoide E,, exterieura E, it fau( encore que la quanlite 0 soit positive.
Or il esl aise d'exprimer 0 en fonction de la sonime A, de deux racines vy et v.,.
D'apres ce qui precede, ['equation
a deux racines de sonime constante, h, si les / sont lies par la relation
f*l f*J f*» <m |X,-+- efj^-f- C'3fAa
;aM f*-2> etant trois quantites de somme nulle, dont les rapports sonl f'onctions de h : pour les calculer il suflit de considerer un cas particulier, et de supposer, par exemple, (|iie I'equation en v a pour racines o et //.
On a ainsi
h.&h ■+■ lt. -r /2. + l*.ish — o,
d'oii Ton tire /2 et /3 en fonction de l0 et /, ; portant ces valeurs dans ( i» 4 1 et ecrivant que I'equation obtenue est satisfaite, quels que soient l0 el l{ , on trouve
&ih) (<f3h
el la valeur (26) de 0 devient
On dcmontre aisement que, A etant reel, la quanlite entre crochets
dans le second membre est egale a
SUR LE THEOREMS n'AREL. 'iQI
et, par suite, on a
Pour quo 0 soit posilif, il faut el i' suffit que p - soit superieur a r ; soit u0 la plus petite racine positive de pu — 1= 0, la quantite - devra
olre comprise entre o ol u0, a cles multiples pres des periodes, el /< entre
0 et 2i/0: on peut toujours, en effet, supposerA>o, puisque, si deux racines de l'equation en v onl une somme h. les deux autres onl la somme — h.
