COS <D

II s'agit rnaintenant de savoirquel sign e on doit faire corresponds a chacune des quatre racines de cello equation dans l'expression de a"'.

Supposons satisfaite la condition qui exprime que deux deces racines out h pour somme, etdesignons ces racines par o,, // —. v,,v2, h — y2, h etant une quantite positive comprise entre o ol iu0,

Si, dans les fonctions -~ v, -| v , ~ v, on remplace 0 par 20>+ 2(0' — v,

la premiere et la troisieme ne changenf pas, la seconde change de signe : on en oonclut aisement, en se rappelant quo le coefficient /;, est purement imaginaire, quo, si l'equation (17), en v, admet la racine p -+- qi, elle admet la racine 2 to -(- 2 w' — p -hqi, et, par suite, h etanl une quantite reelle, les quatre racines de cetle equation seronl de la forme

p +qi. h — p — qi,

1 to -H 3<u' — p -\- qi, — A — 2&) — 2 co' + — 7/.

On verifie sans difficulte que la premiere et la troisieme racine, substitutes dans les valeurs (iG) de yj et 'C, donnent des resultats imaginaires

4f)2 OF.UVRES PK GEORGES HUMBERT.

conjugues; de memo la deuxieme el la quatrieme; par suite, d'apres une remarque faite a la fin du n° 57, les signes qui, dans I'expression de 3"', correspondent a chacune de ces racines seronl (£, e'designantrt 1 ), respectivemenl .

Cherchons d'abord !es signes relatifs de eei e'; il n'v a a faire que deux hypotheses e — e' et e = - e'. Si e = e', il vienl

Jl/f [Zvf^U h - P,)/^- r <>,— C( - // - p, j + 2 A ],

e'est-a-dire

it'— e7r\/£(^+A)-HR.

R etant algebrique en pv{ et pr...

Si £ = — £', on a

£(A — -vt) — $p,-h£(— A— PjJ + jIc,- cj — A)],,

Oil

cr" = etc (K ^ Vt—h) + fi — *] i- R>

Or, pour avoir l'aire de l'ellipsoide, il faut, /, rn, n .etant donnes, faire

varier 3 deo a-; aux variables-. — , o 011 ■£> % on peut substituer

les variables vf, v2, h, puisque ^'equation (17) ecrite deux fois en y

rernplaeanl v par v, etc., et I'equatioh (21) determinent -> ™> cos<p en

fonction de v2, 9 et (jue (26) definit 0 en fonction de h. Or, tp variant

de o a. -? I'equation (21) montre que 6 varie de 00 a o, et, par suite,

d'apres (26), h varie de 2 «0 a o; il resulte de la que l'aire de l'ellipsoide sera, dans I'hypothese de e = z' , exprimee, a une fonction algebrique pros, par la fonction transcendante

2 err 4/^ (?««,-+- «0)i

qui est independante des valeurs de I, m, n, et dans I'hypothese de e = — £', par une fonction transcendante qui depend de vs — pa, e'est-

SUR LE THKOHRMF n'ABEL. '\()'>

a-dire, com me on le reconnait aisement, qui depend effectivemenl des

valeurs de-> — > resultat absurde, puisque Ton doil aboutir a la meme n 11 11

expression pour I'aire <le ['ellipsoide, quel <|ue soit I'axe des paralleles consideres (' ).

Observons de plus que dans I'expression trouvee, pour le cas de £ = e'== i, on reconnait cello qui a ete obtenue par une autre voie pour I'aire de la surface (n° 50 ).

On a done necessairemenl £ — t' t= i, el

ff"=^y'|(2C/i + 3A)+ M.

ce qu'on peul ecrire, a unefonction algebrique pres,

2rt \/s ^«>-r-<x>),

w, e'est-a-dire ih, etant defini par la relation (26)

3as62c!

el 0 etanl la racine positive de I'equation

/2 m2 «2 cos2 a; ( /* + m* -+■ n* )

aJ--H& b'-+d c2 +