On a done cette proposition
V aire d'un parallelr d 'axe (/. m, n) et d' angle 3 est egale. d tine fonclion algebrique pres, a I expression
it. y \ + w),
om 55/ plus petite f/uantite positive de/inie par les relations (27)^/(21).
Geometriquement, d'apres ce qui precede, on peul dire, puisque w depend seulemenl de la racine positive 0 de (27), que :
Si sur un ellipsoide, E,, homo focal et exterieur a tin ellipsoide E, on
(') C'esl ici qu'inlervient expressement la condition que la quadrique considered doit etre un ellipsoide; pour un hyperboloide, le groupemeut des signes serait different.
prend une conique cent rale quelconque, et si Von circonscrit a cette conique et a E une developpable , I aire comprise sur E enire les deux boucles de la courbe de contact demeure constante, a une fonction algebrique pres, quand la conique centrale variesur K, .
GENERALISATION DO THEOREME DK GRAVES ET CIIASI.ES.
66. Pour completer ces resultats, il nousrestea donner l'expression de cette fonction algebrique et son interpretation geometrique.
Introduisons a cet effet I'aire des deux nappes de la developpable precedente, limitees a la conique centrale sur E,, et a la courbe de con- I act sur E; nous allons faire voir que la fonction algebrique etierchee est precisement egale a cette aire.
Nous demontrerons auparavant une proposition auxiliaire interessante par elle-meme.
Soient C, la conique choisie sur E, ;/, in, n la direction conjuguee de son plan dans E, ; la courbe de contact sur E est un parallele d'axe /, m, n, d'apres ce qui a ete dit (n° 60); soit cp son angle.
Considerons une generatriee de la developpable circonscrite a C, et a E, et suivons cette generatriee a partir de C,, en nous dirigeanl vers son point de contact avec E; ce point depasse,on rencontre une conique double C2 de la developpable que nous appellerons la deuxieme conique double, G, etant la premiere. Si nous li mi tons la developpable aux coniques C, et C2, on a cette proposition que :
Vaire de la developpable circonscrite a E, timitee aux coniques C, et C2, est constante, quelle que soit, sur Vellipsoide E, , la conique centrale C, .
En effet, I'aire a evaluer est divisee en deux nappes par C, ; projetons I'aire d'une des deux nappes sur un plan normal a la direction /, m, //. avec laquelle les plans tangents a la developpable font un meine angle tp ; si 5 est I'aire des deux nappes, 12, I'aire de la conique Cn on aura
3 cos <p = 2 proj . 12 , .
x* ' .V'" '^aIh
Or on trouve aisement, en designant par ^—q +...— 1=0 I equation de E,,
sur le thkorkme b'abel. /\go
et, d'apres (21;,
sje I l* m* ~n»
d'oii
ce qui est bien independanl de /, /w, /'•
<>7. Gela pose, considerons I'aire -S, comprise, sur une des nappes de la deveioppable, entre la eourbc de contact avec \i el la eonique C2; cette portion rle surface comprend a son intcrieur, sur E, une calotte dont la base esl une des boucles du parallele (/, ///, n, <p); projetons les
tleux aires- S, el les deux calottes qu'elles comprennent, sur un plan normal ii I'axc du parallele; il vient evidemment
S c »s cp 1= proj- de I'aire des deux calotto.
Or, si nous decoupons les deux calottes a projeter en zones infiniment petites par des paralleles de meme axe/, m, n, et d'angle variable, on aura, en reyenant aux notations du n° 57, pour I'element de la projection
ate' = dx dy ^
c'est-a-dirc
011, en remplacant, comme au n° 58, les variables a? el v par les variables u el v,
dgl = du dv 4"(«* + Pr + y»)'Q 1 .
on a done, d'apres 1'expression (3) de coso,
S = uf j\ a du rf/g + ,
les variables el la sommeN etant les memes que dans l'equation (5). En posant encore
on trouve
2 rfS*^ BC(C-B)r,? '
- est identique a l'exp?ession ( 1 1) de er, oil Ton aurait divise par // la
quantite sous le signe j ■
On en conclut, toujours comine au n° 58,
bc(C-b)S= Hi [jf°u<« + ^ + £ (£) + ^ (Sr)]-
Si Ton pose encore U2 — A2 — A A, il vient, en suivant toujours pas a pas les calouls fails plus haul,
S = uy-±-^= (' [>-(B + ^) + ^BC] L | ,/C+Xy/A y/B + Xy/A I M >\/BCJ iA(X + B)*(X + C)*L v/B(C-B) VC(C-B)J
L'integrale qui figure au second membre s'obtient de suite; il vienl
y ± » f « >■ ft* , y
^ 2 [sAv/BCyAB -hX)(C + X) ay/ABy/C^By/B •+■ > 2y/AB y/C — B y/Cf+ X
+ 2d~ 2 ^ v^es )'
68. Soit maintenanl a 1'aire des deux calottes ellipsoidales comprises a l'intericur des deux portions de developpable considerees; elle est donnee par la forniulc (i5), les limites etant convenablement choisies, et d'ailleurs les memes que pour S. On voit alors que dans I'expres-
sion S — a, les lermes en ( -^p- J disparaissenl, el il reste, en rempla-
U v7 Ay/ATT
cant u par r5 ou par — p>
1 a. + ,3y) + y£ 1 a pn 4- ye
0<y/Ay/C-t-X y/Ay/B+->, a + (3 - v -+- y v
«Xy/C^~B £t y ]
[2Ay/BCy/(BH-X)(C-HX) 2 y/ACy/B~+T 2y/ABy/C^X.J
7T p Ay/ A 4-/. ^ /" ArfX 1
"^aV'ABG L^B-hXXG + X) 2.7 y/( A + X )(B + 1)(C+T) J
SUR LE THEOREME d'abEL. /\()~
Introduisons les fonctions elliptiques par les formules (16), il vient
2 (g2 e VI L tf *i
-2±iv/s/['---+(',7;'-r''']^
Les sommes s'etendent toujours aux quatre zeros distincts a des multiples pres de 4W> 4°>'> de l'equation (17) en p. L'integrale qui figure au second membre est
r -+- co ) c ] ;
et l'on a
C (('-)- co ) = r f -t- rw h 1
2pi>—el
Les termes en £co se detruisent deux a deux, a cause du choix des signes (64) ; faisant passer le terme ^ p^—e sous ^a Premiere somme,
il vient par un calcul facile, en remplagant a, (J, y, u par leurs valeurs (3) en fonction de /, m, n, coso, et tenant compte de (16 bis) et (17),
Soient vtyh — vt; v2, — A — e2 les quatre racines de l'equation (17) en f ; posons
il vient, d'apres ce qui a ete ditsur le choix des signes,
Pour avoir la valeur de S — u, c'est-a-dire l'exees des deux portions de nappe considerees de la developpable sur l'aire ellipsoidale qu'elles comprennent, il faut faire varier cp de o a s et, par suite, d'apres (21) et (26), 0 a partir de qo, et h a partir de 0.
