Or ilu lYquation

<iv — li C, v + l2 cC, v ■+- ts tfj v,

ou Ton fait successivement^ = v{, v2, h — vt, on tireles valeurs proportionnellesde cos^>, l,,l2, l3, eten les portantdans la relation precedente, on voit sans difficulte que le second membre est independant de et P2, parce qu'il ne peut devenir infini pour aucune valeur de et p2. Ce second membre est done seulement une fonction de h, ou de 0 (26), et par suite S — cr est constant quand la conique C, decrit l'ellipsoide Et.

En introduisant, au lieu de S, l'aire S, des deux nappes de la developpable comprises entre C, et la courbe de contact sur E, et, au lieu de l'aire desdeux calottes ellipsoidales, l'aire du parallele, on a, puisque S -f- S, est constant, ainsi qu'on l'a demontre au n° 66, le theoreme suivant, tout a fait analogue a celui de Graves et Chasles sur les arcs de conique :

Sur un ellipsoide E, , exterieur et homo focal a un ellipsoide E, on prend une conique quelconque, dont le plan passe par le centre, et Von circonscrit a cette conique et a E une developpable : lUexces de Vaire de cette developpable, limitee a la conique et a V ellipsoide E, sur Vaire ellipsoidale comprise sur E a son interieur, est constant.

70. Le theoreme de Lebesgue (n° 55) est un cas particulier de cette proposition; on l'obtient en supposant que la conique choisie est situee dans un des plans principaux de E, . Quant a la valeur de la constante, elle peut se determiner en partant de ce qui precede, ou, plus simplement, en s'appuyant sur les formules donnees pour les zones de Lebesgue.

Si Ton suppose que la conique C, soit dans le plan z — o, l'aire du parallele correspondant sera, en gardant les notations du n° 55 et designant par S0 l'aire de l'ellipsoide, 2 (S0 — Q) ; l'aire S, sera donnee par la formule

(28) S, cos cp = 2aireCi — 2 to,

12 et w ayant les memes significations qu'au n° 55. On a trouve

(29) o=^__7rV/£(?M + w)+voi

SUR LE THEOREME n'ABEL. 499

u etant defini par

,o \ tang2* p

(3o) -JL s=fSiL5><pa-«).

D'ailleurs on a

aire

et, par l'equation (21), (3i) cosjc

II vient alors, pour la valeur de la constante cherchee, qui est egale a S, - 2(S0 — Q),

2 7t — 7 , — — 2 — 2 7ii/^ ") '

l/g cos <jp L y 3 coscpj

c'est-a-dire

Ainsi, on peut dire que iexce.s de I' aire de la developpable sur celle du parallele a pour valeur

7rt /p I t /3(q»+fl)(6j+fl) (c* + (9)

w etant la plus petite valeur positive de/inie en fonclion de 0 par la relation, deduitede (3o)et (3i),

EXPRESSION COMPLETE DE l'aIRE DU PARALLELE.

71. En partant de la formule (18) et en calculant^^ par la relation (i3), on arrive, pour l'aire du parallele d'axe /, m, n et d'angle <p, a l'expression suivante.

Soient. 0 la racine positive de l'equation

P \nt* n? cos*<?(/*-Km*-+- «2)

et w le plus petit argument positif defini par la relation

3a262cs

pw — i.

Posons, /, , /2, /3 etant toujours definis en fonction de /, m, n

par (16 bis),

/|tfi4^t'+(' + 2ei)^|;]+ 4*2 ''[";;'' +(' + 2ei)j'p]+ l*3sv[<iiv + (i + aca) a12!-] L'equation