COS CD
(19) ~abc <Sv == '1<3',^+ ^a'!!t + 1*<**V
a, dans un parallelogramme 4w, 4W'» quatre zeros, dont deux ont pour somme 2 w, et les deux autres — iw, a des multiples pres de 4^, 4W '; soient , 2 w — vK , v2, — iw — ces zeros. On aura, pour l'aire comprise entre deux paralleles,
le second membre etant pris entre les limites qui correspondent aux deux paralleles.
On voit bien que la partie transcendante est 2itt/|(£ w-h w).
Pour se rendre compte de la nature de la partie algebrique, on peut substituer a l'equation (17) une equation dn quatrieme ordre en pv, en
remplacant -~ par \jpv — ea \ et, si Ton designe ses racines par P,, P2,
P3, P.f, la partie algebrique de a est de la forme
cp(P1)+a>(Pi)-cp(P3)-cP(Pt),
o etant une fonction rationnelle.
Pour avoir l'aire d'un parallele, il faut prendre le second membre a partir des valours qui correspondent a cos 9 = o, c'est-a-dire, commc on 1'a dit deja, a «• = o. En ce cas, t et § etant des functions impaires, le second membre s'annule pour la limite inferieure, et il suffit de substitner les valeurs qui correspondent au parallele considere.
SUR LE THE0REME d\\BEL.
AUTRES AIRES ELLIPSOID ALES REDUCTIBLES AUX FONCTIONS ALGEBRIQUKS. ELLIPTIQUES OU LOGARITHMiy UES.
72. Soit toujoiirs E un ellipsoide; menons les plans tangents communs a E et a une sphere exterieure a cette surface. La eourbe de contact sur E se compose de deux boucles fermees, et e'est l'aire comprise entre ces deux boucles que nous allons maintenant evaluer.
Designons par /, m, n les eoordonnees du centre de la sphere, par R son rayon : la eourbe de contact a pour equations
x- v5 z* I / Ix my nz \2
Supposons que la sphere se deplace de telle facon que son centre reste sur une droite issue du centre de E, et que son rayon varie proportionnellement a la distance des deux centres; on aura ainsi, u etant un parametre, a, (3, y, r des quantites fixes,
— : — — > , , — — > — = —■> n — — , a1 u br u c2 ii u
et la deuxieme equation devienl
(34) ? = ~ + £ + ^ - (ocx + (37 + yz - «)•= o.
L'aire comprise entre les courbes de contact correspondant a deux de ces spheres, de parametres //, et u, a pour expression, d'apres les raisonnements fails au n° 57, P = o, Q == o designant les equations de deux plans convenablement choisis,
A etant le jacobien des premiers membres des equations (3a), (34), et P -f- v() = o, et la somme s'elendant aux points communs aux trois surfaces representees par ces equations.
En appliquant la formule (8) du n° 20, cette somme devient egale a
cette autre,
y d Q(i, -o, c, g)(« + grj +yZ— uQY
etendue aux points communs a /== o, <p — o, 6 = o, et ou Ton fait linaleinent 0 nul. Soient rj, '£ les coordonnecs d'un de ces points. On a,
par (32) et(33),
11 en resulte que yj et C sont independants de m ; que ^ et ^ sont de
la forme 4, -+- iii> 4> et iil> etant independants deu, et, par suite, s sera de la forme
ffdudi'l [ttk
)C OIL, « -+- -X,, -+- <'(3IL2 « 4- 0u2) ' (P + ('Q)2
les quantites on, etant independantes de u et dee; ce qu'on peut ecrire, en effectuant la somme,
San I jdudV[$a{v) + uMr)l
#0 et §{ sont ici rationnels en v, I'i ntegrale double est par suite one fonction entiere et du second ordre en u, et line fonction rationnelle et logarithmique de v. Si Ton fait varier v entre — ■ oo et + =c, on obtienl I'aire annulaire cherchee, qui est des lors une fonction entiere et du second ordre de u. Or, pour u — o, la courbe de contact se reduit a un parallele d'axe /, m, n, et dont Tangle <p est defini par la relation
R = \fP
n- COS CD,
ainsi que le montre l'equation (34 ). On sait evaluer I'aire d'un parallele; la formule precedente permet d'evaluer I'aire comprise entre le parallele et la courbe de contact qui correspond a rune des spheres considerees ; il en resulte qu'on saura, par difference, evaluer I'aire comprise entre
StIR LB THEOREME ISABEL. 5o3
les deux boucles de cettc derniere courbe. D'apres ce qui precede, cette aire ne differera de celle du parallele corresponda.nl que par une fonction algebrique.
