On peut resumer ces resultats de la maniere suivante
Soient deux spheres, C0 et C, inscritcs a un meme cone de revolution, concenlrique a un ellipsoide E ; menons les plans tangents a E et a chacune des deux spheres, appelons Y0 et V les courbes de contact sur I' ellipsoide, et faisons varier la sphere C, en la laissant toujours inscrite dans le cone.
V aire comprise sur P ellipsoide entre les boucles des deux courbes Y \ et T est une fonction entiere et du second ordre de F inverse du rayon R de la sphere variable.
La somme algebrique desquatre aires comprises enlre les courbes V \, T et
deux plans quelconques est aussi une fonction du second ordre de ^ ; c est
de plus une fonction rationnelle et logarithmique des coefficients des deux plans.
74. Quant a Voire $ comprise enlre les deux boucles de la courbe T, elle est egale, a une fonction algebrique pres, a la partie transcendante de l'aire du parallele correspondant (n° 72). Soient /, m, n les coordonnees du centre, R le rayon de la sphere ; l'aire f> aura pour expression
-S — 2 7Tt/| ( C + tv) -1- M .
<sft. etant algebrique, et w etant le plus petit argument positif defini par la relation
ou 0 designe la racine positive de l'equation
Nous avons done sur l'ellipsoide une nouvelle serie d'aires reductibles aux integrates elliptiques; celles qui ont ete considerees jus-
5o4 OEUVRES DE GEORGES HUMBERT
qu'ici en sont des cas particuliers, et, d'une maniero generate, nous pouvons dire que :
V aire ellipso'idale limitee par une courbe a deux boucles, le long de laquelle les plans menes tangentiellemcnt a Vellipsoide touchent une sphere exterieure a la surface, est exprimable par les fonctions elliptiques et algebriques.
Elle est equivalente, a une fonction algebrique pres, a celle d'unetzone ellipso'idale a bases paralleles, les parametres de la zone, etant de finis algebriquement en fonction de ceux de la sphere (n° 54).
75. On peut donner a cette proposition une autre forme. Nous avons montre, dans un travail deja rappele, que la developpable circonscrite a l'ellipsoide et a la sphere C a ses quatre coniques doubles sur quatre quadriques homofocales a E,
les quatre valeurs de k etant les racines de l'equation
