I- m* n* Ra
a^hk + 65 + k + c^^+H ~ 1 — li '
de plus, le plan de chaque conique est le plan polaire du centre de la sphere par rapport a la quadrique correspondante ('). U en resulte aisement les consequences suivantes : »
Soit E, un ellipsoide exterieur et homo focal a Vellipsoide E,
considerons sur E, la conique situce dans le plan
l.v + /jlj + vz xn = o,
et circonscrivons a cette conique et dE une developpable ; I 'aire comprise sur E entre les deux boucles de la courbe de contact a une expression de la
forme
l 1 ) Bulletin de la Societe mathe'matique de France, t. XIII, p. 99 et suiv.
SUR LE THEOREMS n'AllEL. 5o5
A' elanl algebrique en A, v., v, ro, /.", el w designate le plus peril argument positif de fin i par la relation
oil 0, est la racine positive de V equation
, -f- /r .„ „ b*+ k , , c'2~hk km1 a2 6| ' /;* -+- B{ c1 -+- 0{ k — (/,
76. Dans le cas oil la sphere C a sun centre sur mi desaxes de I'ellipsoide, Ox par exemple, I'aire cllipsoidale comprise entre les deux boucles de la courbe de contact de la developpable circonscrite ii I'elUpsoide e( a la sphere a I'expression suivante, qu'on trouve en appliquant la methode du n" 57 :
/designant I'abscisse du centre, et wetant defini, en fonction de / et du rayon R, par la relation
„ I'- — Rl //2t.2
p tv — i .
On dnit supposer, pour appliquer cette formule, que la sphere est exterieure a rellipsoide.
77. Soit toujours V la courbe de contact avec I'ellipsoide E de la developpable circonscrite a E eta la sphere C; si Ton coupe cette courbe par deux plans, on obtienl sur rellipsoide, entre la courbe et les deux plans, deux aires curvilignes donf la somme algebrique n'esf generalement pas exprimable par les functions elliptiques on algebriques; elle le devient si les deux plans sunt paralleles.
Consideroris, en eft'et, deux spheres concentriques, de centre /, m. n et de rayons infiniment voisins; soient u et u -h du les inverses de ces rayons; si nous nienons les plans tangents a E et a chaque sphere, et si nous coupons les courbes de contact sur E par deux plans paralleles.
Ua'VHKS HI'. I.. III MBURI . 1 . I.
5oC OKU V RES DE GEORGES HUMBERT.
P+c=o; P + ^ + </p = o, nous obtenons quatre aires ellipsoidales infinimenl petites, donl la somrae algebrique a pour valeur
. Ijc my nz
A etant le jacobien des fonctions
7> + Jt+ci-l>
jc* v5 z1 .(Ijc my nz «* I)" c* \ a1 b* ts\
et
et la somme s'etendantaux points communs >l f — o, <p . = o, P -+- e = o.
On en concltit ( n° 20 ) que Ton a, pour I'aire finie qui correspond aux spheres u{ et u, et aux plans v{ et v, f expression
> r" * a / "'/• v d Wt " bt + r*
la somme s'etendant aux points communs aux surfaces J '— o, 9 = 0, 0 = 0. II en resulte sans difficulte que ('integrate double csl ime fonction entiere et du second ordre en v, et une fonction rationnelle el logarithmique en u (n° 35). Si Ton part de la sphere de centre /, in. n et de rayon nul, pour laquelle la courbe de contact sur E se reduil ;i la conique polaire du centre comptee deux fois, on voit aisemenl qu'on pent enoncer la proposition suivanle :
La somme algebrique des deux aires ellipsoidales hmitees par deux plans paralleles et par une. courbe a deux boucles, le long de laquelle les plans menes tangentiellement a Tellipsoide louchent une sphere, est une fonction algebrique el logar/lhinir/ue des pararnetres de la sphere ; de plus, c est une fonction entiere el du second ordre du parameire variable qui enlre dans V equation des plans.
Olte aire, en supposant la sphere fixe, csl de la forme
SCR LK TIIEOKKME d'auEL., •)«>-
oflo et ift) etant independants de ^ et p,. On pent ecrire
el . par suite.
£a somme algebrique des deux aires ellipsoid/ties precedentes est nullr si Irs deux plans pen alleles varienl en conservant lew direction et en restant cquidistants d im plan fixe, de meme direction.
Cette proposition el la precedente s'appliquent a une quadrique quelconque; elles permettenl de determiner, sur nne telle surface, une infinite d'aires, limitees par des courbes al geb ri(j ties el exprimables par des fonctions rationnelles et logarithmiques.
Nous n'insisterons pas plus longtemps sur les applications aux aires ellipsoidales, el nous donnerons quelques propositions relatives aux aires sur une surface algebrique quelconque.
