IV. — Aires sur une surface quelconque
78. Soil /(X, Y,Z) = o I'equation d'une surface algebrique d'ordre ///, en coordonnees rectangulaires; I'element d'aire a pour expression
|p:\ ' d^dXctY tfi.+fi+f't.-
On peul evaluer aisemen I, comine dans le casdesquadriques, la somme algebrique des aires comprises sur la surface/" = o, entre deux plans paralleles et deux courbes le long desquelles les plans tangents it la surface touchenl respeetivement deux spheres concentriques.
Soient, en effet, /, in, n les coordonnees du centre de deux spheres voisines, // et u -+- du les inverses de leurs rayons; P '-+- v = o et P v -¥■ dv == o deux plans paralleles voisins : la somme des aires infiniment petites a evaluer est (n° 30)
A etant le jaeobien des f, P -+- c, et o, etant pose
* -/< + ft + fit — "J ( l/x "t- mfk + /i/z -+- /,' )*,
5o8 OEUVRES OE GEORGES HI MHl'.KT.
et la somrae s'etendant aux points communs a / — o, © = o, P 4- c = o. On pent fecrire anssi
et, d'apres la formule du n° 20, deja si souvent appliquee, I'aire finie qui correspond aux spheres m, et //, et aux plans <>, et v, sera
la somme s'etendant aux points communs a /"— o, © = o, 0 = o : on a remplace X par i, V par yj, Z par £e( / par 0. II resulte de la, commedans le cas de l'ellipsoide, que I'integrale double est une fonction entiere e( du second ordre de v, et une fonction rationnelle et logarithmique de //. Done :
Soienl, sur une surface algebrique deux courbes, le long He chacune desquelles les plans tangents touchenl respect ivernent deux spheres concentriques; la somme des aires comprises sur la surface entre ces deux courbes et deux plans paralleles est une fonction algebrique el tbgarithmique des paramelres des deux spheres, el une fonction entiere du second ordre du parametre variable qui entre dans f equation des plans.
Elle est nulle si les deux plans paralleles varienl en conservant lew direction el en rcstant e quia lis t ants d'un plan fixe, de meme direction.
Le meme raisonnement montre que la proposition estvraie, non seulement pour deux spheres eoncentriques, mais pour deux spheres quelconques.
79. Plus generalemenl, en reinplagant les plans paralleles par un systeme de surfaces asyinptotiqucs, <I>, -+- vt<P., == o, on verrait de meme que la somme des aires correspondantes est une fonction entiere et du second ordre de v ; si les surfaces etaient asymptotes, <!>, 4- vi2Q?2 = o, elle serait du premier ordre en v, et si el les etaient osculatrices a I'infini, <I>, -h K3<&2 — <>, l» somme des aires serait nulle.
(SO. Soit, sur la surface/ = o, une serie de courbes definies par une
SUn LE THEOREMS I) ABEL. r)0(J
equation de la forme
ou s est un polvnome en tier, .de degre (m — i) au plus en X, V, Z, et <le degre quelconque on //.
On voit, par le memo raisonnement, (pie la somme des aires comprises sur la surface enlre deux de ces courbes el deux plans paralleles est une J'onction rationnelle el logarilhrniqiie da parametrr u, el une fonction entiere, d'ordre deu.r, du parametre qui enlre dans 1'equation des plans paralleles.
Si s Hail d'ordre m — 3 en X, V, Z, la somme precede nl c serait toujours nulle.
On a done ainsi une infinite de manieres do determiner, sur une surface quelconque, des aires dont la somme algebrique soil exprimalde par les fonctions elementaires.
EXPKESSION
QUELOUES AIRES SUK LE PARABOLOIDE ELLIPTIQUE
(Bulletin de la Soc. math., t. i S 9 J . ;
I. Dans mon deuxieme Memoire sur Ic theoreme d'Abel, j'ai donne line formule simple permettant d'exprimer, a I'aide desfonctions elliptiques, L'aire d'une calotte ellipsoidale limitee par une conique le long de laquelle le cone circonscrit a I'ellipsoide est de revolution. La meme methode s'applique a revaluation d'une aire analogue sur le paraboloide elliptique, mats le resultat est beaucoup plus simple, puisqu'on arrive pour l'aire cherchee it une expression algebrigue et meme rationnelle.
Voici la marche des calculs, qui soul tout a fait elementaires.
Soil le paraboloide elliptiquc
on suppose p >> 0, q > 0, et p > q.
Le lieu des sommets des cones de revolution reels circonscrit a la surface (1) esl Une des paraboles locales, ou plutot la partie de la parabole exterieure a la surface : les equations de cette parabole locale sont
(2) y = o, z- — ix (p — 7) =p(p— <]).
Le plan polaire P d'un point {pc, z) de la courbe (2) par rapport an paraboloide a pour equation
oiuviiks nr. georces Humbert.
Proposons-nous d'evaluer l'aire de la zone comprise, sur le paraboloide, entre ce plan P et le plan polaire P' d'un point (x -f- dx, z -r- dz), infiniment voisin de (x, z) sur la parabole focale (2)
A cet efl'et, projelons la zone sur un plan normal a l'axe du cone tie revolution de sommet (x, z) circonscrit an paraboloide; il est clair que l'aire de la projection esl egale a la difference des aires de projections, sur le meme plan, des sections fades dans le paraboloide par les plans P c( P'. Or, en appelant da l'aire de la zone el 0 I'angle que les plans tangents au paraboloide le long de la section P font avec l'axe du cone, on a, pour la zone projetee, la valour da sin 9, el, en designant par a> et c.o + d(o les aires des sections P el P', par X el X' les angles des plans P et P' avec l'axe du cone, il viendra
(4 ) d3 sin & — ( to -+- <Yw ) sin /.' — to sin >..
L'axe du cone esl la tangente en ( .r, z) a la parabole locale (3), ses equations sonl done
(5) Y = o, \{p — q) — Zz -+- {p — q)(x -(-/>) = o,
et par suite
• ^ Pz
sin/. =
pz-h (p-q)dz y/ [( ■ -4- dz Y- + (f 1 I ;s + {p - qY
Si Ton developpe sinX' suivant les puissances croissantes de dz, it vient, en negligeant les termes en dz2,
sin /. = sin A + dz q — -t ,
sinO se calcule aisement; on trouve
sin b -
v ^-t-ip — qy
Enfin to, aire de la section faite dans le paraboloide ( 1 ) par le plan | i 1, a pour expression
EXPRESSION DE QUELQUES AIKKS SUR LE PARABOLOIDE EI.L 1 1' TIOl K. 31 6
On aura w + i/co en changeant dans cette expression s en s + dz. Sortons mairilenant dans (4) les valeurs de sin 0 . sin/., sin/.', to el a) -t- ^/(>j : il vie nl apres reductions
da= -fM 1 [{3p - q) a*~- q\p - qf\
On a ainsi ['expression de en fonelion entiere de on en deduit I'aire 7 de la calotte du paraboloide qui a pom' base le plan I' :
5/' Jixx - r-P
const.
La constante sc determine en ecrivant que tx esl nul lorsque le plan V touche le paraboloide, e'esl-a-dire lorsque le pole {x, z) de ce plan est un des ombiliics du paraboloide : or les deux ombilics sont a I'iriterseclion de la surface avec la locale (2) : on trouve ainsi. pour le j de I'ombilic situe au-dessus du plan des xv.
et par suite on a pour I'aire cherchee
" 3 npq.
g-(p - 'if
On pout done enoncer le resultat suivant, qui resume cette note :
Soil un cone de resolution circonscril au par aboloide elliptique Y» ri}
Son soinniel est dans le plan V =s 0: designons par x et z ses deux autres coordonnees, el supposons, par exemple, z^>o. Vaire a de la calotte de paraboloide qui a pour base le plan polaire du soinmet du cone est une fonction entiere, du troisieme ordre, de z, et elle est donnee par la formule (6).
Verification. — Si le paraboloide est de revolution, on ayo = yet s esl taujours nul, I'aire a se presente alors sous forme indelerminee. .Mais si Ton remplace 3 par sa vateur en fonction dex, tiree de(/-i), on trouve
(ElvUes de 0. iil'mukht. t. i. 65
5 I 4 OIUVKES HE GEOISGES HUMBERT.
pour o\ dans le cas general,
■in
el si ['on Tail p = r/, il vient
formule qui se verifie sans difficulty, en clierchant I'aire engendree par la revolution autonr de son axe de la portion de la parabole
comprise entre le sommet et la droite polaire du point (x, o).
II. line t'onnule que j'ai Tail connaitre aiileurs permet d'exprimer ii I'aide des fonctions elliptiques I'aire comprise sur un ellipsoide entre les deux boucles de la courbe de contact de la developpable circonscrite a I'ellipsoide et a une sphere, le centre de la sphere etanl suppose sur un des axes de la quadrique. Si Ton applique cede formule an paraboloide elliptique, les fonctions elliptiques disparaissent, el I'on arrive a une expression rationnelle remarquablement simple, que I'on va donner.
Yoici la formule pour le cas de I'ellipsoide :
Soil une sphere de rayon K, dont le centre est situe a une distance I du centre d'un ellipsoide, sur Faxe de longueur '±a : I'aire ellipsoidale S definie plus haut a pour valeur
„ Id Id <JiU ou
(o s = 27r^e(Cu + tt)^2TC^e(p„.0__
Dans cette formule, les fonctions elliptiques dependent des quantites e, , e.2, ea ainsi definies :
a, b, c sunt les demi-axes de 1'ellipsoide; enfin u est le plus petit
EXPRESSION HE QUELQUES AIRES SUR I K I* \ R A BOl.oVnE ELL1PTIQUE. 5 I 5
argument reel el pbsitif determine par la relation
On doit, pour appliquer la forrnule, supposer la sphere exterieure a ['ellipsoide, c'est-a-dire l^>a el R<^1 — a.
Pour passer au cas du paraboloide, on <loil remplaccr dans res Cor1 mules / par /„ -f- a, lr [tar ap, c1 par aq el fatre tendre a vers L'infini;
Tellipsonle ■+- . . . '= i a pour limite le paraboloide elliplique
- 1 |-2jr = o.
La forrnule ( '>) s'ecril
, a*~i- 2a l0 ■+■ l\ — R1 pq a ( p -t- q) ■+- pq . Ks
el, par suite, // tend vers zero lorsque a tend vers I'injini. On lire de la le developpement de a en I'onction de u sous la forme
si Ton porte eelle valeur dans les relations ( 2), on obtient des developpements analogues pour e, , e.,, e3 et p ; si enfiri on remplaee dans I'equation (1) les quantities a, eK, e2, ex, p par ces developpements, et si I'on develop pe les fonqtiohs elliptiques suivant les puissances croissanles de a, on arrive a line expression de la forme S = A -+- \ht -+-..., qui pour u == 0 se reduit a S = A. II est inutile d'entrer dans le detail des ealculs, qui n'olfrenl ailcune difficult^, la forrnule finale est la suivante :
Ainsi
2/;2 72 + 2 l„pq (/>-+- 7)-+- — ( 3p2 -f- 3 r/5 +2pq)
L'aire S comprise sur le paraboloide elliplique — - — h 2a? = 0 entre
les deux bouctes de la dcveloppable circonscrite au paraboloide et a urnsphere de rayon R, ay ant son centre sur t' axe du paraboloide a une distance l0 du sommet, est exprimee, en fonction ralionnellc de K et de ln , par la forrnule (Zj ).
■>l(> OKUVRE? RE &EORGES HIMBERT.
On doit supposer la sphere exterieure an paraboloide, c'est-a-dire /„>nel K</„.
Verification. — - Si le paraboloide est de revolution, I'aire S est comprise en (re deux paralleles el peul seealculer directement. Considerons la parabole y2-+- 'ipx — o et le cerele (.v — /,, )a -+- y'1— \\-. Les tangentes communes ;i res deux courbes toucherif la parabole aux points donl les abscisses verilienl I'equatiOn
S'pient, par ordre <le grandeur croissante, r, el x2 les deux racines de cette equation; sur le paraboloide engendre par la rotation de la parabole autour de Ox, I'aire comprise entre les deux paralleles x == it', et x = .r.2 a pour expression
c est-a-dire
S— 3-|(/^ — '■'-^•'i)-— (/>2 — zpxrr
chacun do radicaux du second membre devant elre pris nositivement. Or la relation (5) donne
D'ailleurs on verifie que /„ esl compris entre .r, et x.it el par suite, on aura, en tenant compte de ((>),
Ainsi S est une fonction syinetrique entiere de xK etxif le calculse fail immediateinenl et donne apres reduction
S = — - i/„/' + g Ha
formule qui coincide aver (4) oil Ton a fail p ■ = q. On a ainsi veriiie la relation et, par contre-coup, I'equation ( i ).
