PLANES OU GAUCHES

(J. fie Xlalh., V st'-iic, l.l. iKcp.i

I. Le hut H 11 present Memoire est de montrer que, sur une courbe algebrique quelconque, on peul toujours, d'une infinite de mariieres, determiner un certain nombre < Tares don t la so mine algebrique s'exprime par des functions rationnelles : flans un travail public au LVilp Cahier du Journal de VEcole Poly technique j'avais esquisse letude de la ttieme question, mais les resultats * j 1 1 e j'obtenais etaient (res ineomplets et, sur certains points de detail, pen precis; ils etaienl d'ailleurs limites aux eourbes planes.

Le Memoire aeluel eomprend Irois Parties. Dans la premiere, on efahlit une form ule qui donne la somme des arcs intercepted sur une courbe, gauche ou plane, par des surfaces cbrtvenablement clmisies el Ton montre, par la discussion de la formule, que cette somme est, en general, rationnelle el ne peutdevenirlogarithmiqueque pourcertaines eourbes particulieres.

La seconde Partie est consacree a des applications generales de la formule f'ondamentale ; on y etudie specialemenl les cas ou les airs introduits soul susceptibles d'une definition geometrique simple el I on examine, aver quelque detail dans cet ordre d'idees, les proprietes des eourbes planes.

Le travail se termine, dans la troisieme Partie, par des applications aux coniques el a des eourbes particulieres des troisieme et quatriemc ordres.

5l8 OICVRES DK GEORGES HUMBERT.

2. Soil c une coiirbe, intersection totale ou partielle de deux surfaces algebriques

d'ordres m el p. On su [> [m )>e que s n'esl multiple sin- aucune des deux surfaces el que celles-ci ne so totichenl pas foul le long de z. L'arc do la eourbe, dans un systeme d'axes reetangulaires, esl represente par 1'integrale

en posant, pour abreger,

A ~f'\y'i — ft v'y- B ~/'z — /xcp'z, C t=/xcp'v — /ycp'x.

A cause tin radical qui figure sous le signe /', I'integrale n'est pas ( sauf pour certaines courbes particul.ieres, dites de direction ) une integrale abelienne appartenanl a la eourbe ©; il en resulte que la somme des arcs inU'Pceptes sur z par deux surfaces queleonques, de memo degre, n'esl pas une fonction rationnelle el logarithm ique des paramelres de res deux surfaces.

On peut toutefois choisir les surfaces secantes de ma nit* re <|ue cette condition soil realised.

Soienl, en effet, K el 'I' deux polynomes queleonques en X, Y, Z. dont

les coefficients -dependent rationnellemenl de parametres if, v que

nous supposerons en nombreegal a deux pourabreger l'ecrilure; considerons les surfaces §, representees par r equation

(i) $ = F-(\. Y, Z, a, c) - <l»2(\. Y. Z, ii, f)(A! + B*+C!) = <>,

el cherchons a evaluer la somme algebrique des arcs compris sur z (Mitre deux surfaces f, correspondant aux valeurs u, c el // +■ du, v -+- dv des parametres.

En verlu de la relation ( i), cette somme sera

—j A <l> du \ <l> £d ' dv J \ <l»

les sommes etanl etendues aux points communs a la eourbe z el a la surface ( i ). II esl clair, d'aillenrs, puisque le radical a disparu. que les deux dernieres sommes, qui son! des functions symelriques de ees points, sont des functions rationnelles de et de v fainsi que des coef-

QUELQUES PIIOPI! IETES DES ARCS OES COURRES ALf IE BRIQUES . 3 I C)

lieienls des surfaces / — o, 0 = 0, cm general (')]; soie.nl ty(t£, ?) et /.("' v) ces °"eux fonctions : la somme des arcs corapris sur 2 entre les surfaces # qui correspondent aux valours u0, va el p des parametres a pour valeur

(•2) / '^{a, t')rfw + I x-(«». «04ki

el s'exprime des tor's ( theoreme d'Abel ) en fonction ration nelleetlogarithmique de u, v.

3. Nous allons maintenant indiquer une formule simple pour calculer 1'integrale (2;, et nous arriverons ainsi a ce resultal reuiarquable que, en general, Les logarithmes disparaissent dans cette integrate, de sorte que la somme des arcs consideres est une fonction rationnelle des parametres u, v, c'est-a-dire des coefficients des polynomes F et <1>.

Nous nous appuierons it cet effet sur une formule etablie par nous an Tome V (4C serie) de ce Journal, et que nous allons rappeler.

Soil 8 une courbe gauche; X, Y, Z etant les coordonnees d'un de ses points, nous passerons aux coordonnees homogenes en posant

On supposera que x, y, z, 1 sont exprimes en fonction holomorphe

d'une variable, A, et Ton designera par x',x", .... t',t" lesderivees

successives de ces fonctions par rapport a A.

Considerons ma i n tenant nne different ielle abelienne a p part en an I a S,

Q et H etant deux polynomes bomogenes et de me me ordre, en x,y, z, t. Si Ton designe par §{x, r, z, t, U) = o l'equation d'une famille de surfaces dont l'equation depend rationnellement d'un parametre, U, on a la formule

V 9 '±(*\ - Vr.

(*) La somme des valeurs que prend une function rationnelle aux points comruuns a une surface quelconque et a une courbe 3, intersection partielle de deux surfaces / = 0. 3=0, est rationnelle en fonction des coefficients de ces dernieres, lorsque la projection de 3 sur un plan quelconque a ses coefficients rationnels en fonction deceux de / et de <s.

• >20 OKUVILBS 1)F. GEORGES IIUMBEIIT.

Dans le premier membre, la somme s'etend aux points communs a la courbe 2 el a la surface # = o; designe raccroissemenl de la

eoordorinee d'un de ces points, quand on passe de la surface

a la surface

$(x,y,z,l,[ -+-rfL) = o;

dans le second membre -r designe la somme des residus, par rapport aux zeros de R el de t, de la fonction de la variable X,

^ . o .f; ./■* — xt' , , IT -i —F- (,)-

Ces residus se calculenl d'ailleurs sans qu'il soil necessaire de connaitre ['expression de x, y, z, i en fonction de X; ils dependent des elements geometriques de la courbe z aux points on elle est coupee par les siui'iices 1! —(),/ = o.

4. r*our appliquer la formule ( 3 ) au cas qui nous occupe, supposons d'abord que, dans ('equation des surfaces secanles,

v- — o>-( A5 +ir-+c= ) = n,

<\> depende seul d'un parametre, //; les coefficients de F soul alors supposes constants. Cousiderons, le long de z, la differentielle abelienne

on a, d'apres la formule (3 ),

V Jl ± [*\ - V,.

— A *l» du \t J '

la somme du premier membre s'etendant aux points communs a la courbe Z et a la surface $ :

(4 ) 9 - t, «)'*= F2 (.r, v, 3, 0 - f*ix-tf, z, t, u) [A3 Ba + C«]

et Iip designant la somme des residus, par rapport aux zeros de 4>A/2,

i 1 i Cette forrnule s' applique ineine si (J et It cmitiemienl le parametre U.

de la fonction

9(1)= — ■T't — xl\2JW'(y + B2 + C2), v ' AO t- § v

D'apres tout ce qui precede, la somrne algebrique des arcs compris sur © entre les surfaces (4), qui correspondent aux valeurs u0 et u du parametre, a pour valeur

f du(lr),

et tout revient ainsi a calculer les residus /•.

5. Observons d'abord que les zeros de 4> ne rendent pas 0(A) infini, puisque le facteur <£ peut etre supprime aux deux membres de la fonction 0(X), qui s'ecrit

F x' i — xt' <\>' <5) -^r- p.#,(a,Vb^C.)'A^B' + C'>-

On n'a done a calculer que les residus de cette fonction qui correspondent a des zeros de A on de t. Soient X„ un de ces zeros, ra le residu correspondant.

La quantite X0 etant independante de u, l'expression

/ r0du

est evidemment le residu, pour X = X0, de la fonction de X

f 0(A, u)du,

integrale dans le calcul de laquelle X est regarde comme une quantite independante de u. Or on a, d'apres la forme (5),

x' I — xt' /A2 + B2 + C2 , { F - O y/A2 + B2 + C2 N

/ 0(A, u) du = s - log

D'ailleurs A, B, C sont proportionnels aux cosinus directeurs de la

tangente en un point de e ; done