ABC
( 5 bis )
x't — xt' y't — yt1 z'i — zt' et la fonction precedente, que nous designerons par cd(X, a), s'ecril (6) <&{h «) = j»sj{x't — xt'y- + {y,t — yt'y + (z't — zt'y-
F — <& JA* -+- B- -f- C2
x log
L integrale qui donne la somme des arcs cherches, e'est-a-dire
f du(lr),
est done egale a la somme des residus, par rapport aux zeros de A et de t, de la fonction
comme d'ailleurs dl ne devient pas infini quand A s'annule, les seuls residus a considerer sont ceux qui correspondent aux zeros de t (').
6. Supposons maintenant que $ ne contienne pas de paramctre variable, mais que F depende d'un parametrer. L'element d'arcde 3 peut s'ecrire
rfX(A'-+B2+C2) ds = , »
Pour les points de e situes sur la surface
on a
ds = ^(A24-B2 + C2)4».
Partant alors de cette differentielle rendue homogene en x, y, z, t,
(') On pouvait voir direciement, en s'appuyant sur les equations (5 bis), que 6(X) resle fini aux points de S qui annulent A, a moins que ces points n'annulent t.
on a, comme au n° 4, la formule
2<&(A;!-hB--!+ C-) d fx\ AF dv \ t) ~ '
la somme du premier membre s'etendant aux points eommuns a 3 et a la surface (7), § = o, et 2> designant la somme des residus, par rapport aux zeros de FA.t- de la fonction
ou
(8) ea)=2-—^- F,»(A.;B.+ C,)(A-+B'+C-).
Les seuls residus a considerer sont encore, puisque le facteur F a disparu du denominateur, ceux qut correspondent aux zeros de A et de t; si r„ est un de ces residus, correspondant a une valeur A„ de A, on voit, comme au n° 5, que l'integrale
est le residu, pour A = X0, de la fonction
9(1, v)dv;
or on a, d'apres (8),
c/, , , .r'/ — xt1 v/A-+ B-+C-. F-WA' + BM-C-
d(k,i>)dv=: v 7 log •
En designant par s(X, v) le second membre, la somme des arcs interceptes sur e par les surfaces (7), qui correspondent aux valeurs vn et v du parametre, est done egale ii la somme des residus, par rapport aux zeros de 1, de la fonction S(A, v) — s( A, pu).
D'ailleurs la fonction s a la meme forme que la fonction (K.
7. Si maintenant Ton suppose que <t> depende d'un parametre u, et F d'un parametre v, variant sJmultanement d'une maniere quelconque, il est clair que la somme des arcs interceptes sur S par deux surfaces du systeme
F!(.r, j, s, t, i>) — V{x, v, s, t, «)(A! + BsH-C?) = o,
correspondant aux valeurs uu, v0 et u, v des parametres, sera la somme des residus, par rapport aux zeros de t, de la fonction de A
(K{1, u , V)— tft(X, "o, v) + h{\, u0, V) — S(X, tt0, C0),
c'est-a-dire
<Jt(X, u, c) — <K(l, u0, c0),
puisque Ton a
dl(X, ti. c) = S(X, «, c).
La fonction dl a pour expression :
[ (K(l) = -^(,x'i — a:t'y--+-(y't — jt'y-+(z't — zt'y-
x log
8. Montrons qu'en general les logarithmes disparaissent dans les
residus de dl.
Les residus aconsiderer sont ceux qui correspondent aux zeros de t, c'est-a-dire aux points a l'infini sur G.
Plusieurs cas sont a considerer selon la nature de ces points.
i° Le point est un point simple ou multiple, a branches distinctes ou non, mais la courbe n'y touche pas le plan de l'infini. De plus ce point n'est pas sur le cercle isotrope.
Soit \u la valeur du paramelre correspondant au point considere (ou une de ces valeurs s'il y en a plusieurs); on aura, en posant
pour des valeurs assez petites de i,
La tangente correspondanle de © n'est pas dans le plan de l'infini, par hypolhesc; il fa ut des lors que les quantites a„, a,, a/(, ; (30, •••» P/>-o Y<>, • Y/,-i soienl respectivement proportionnelles, en
sorte qu'on a
(9 bis)
et v etant des constantes. La direction du point considere a Tinfini
est j — ^ — * et la quantite i -+■ u.'2 -+- v2 n'est pas nulle, puisque, en
vertu de notre seconde hypothese, le point n'est pas sur le cercle isotrope.
On deduit des deux equations precedentes, en derivant par rapport a e,
y' t — yt' x' t — xt'
= f* 72 H bi
(gter) d'ou
z' t — zt' x't — xt'
i sj{x't- xt' y- -tift- yt' y+(z't- zty
x't — xt'
y] etant une quantite s'annulant avec e, et telle, de plus, que le produit
x't — xt'
reste fini pour £ == o. D'apres cela le residu de pour X = X„, est
le meme que celui de la fonetion
, > x't — xt', -. F— 0^+B24-Cs
Or on a, en derivant la premiere des relations (9),
x' t — xt' a0 a.
( 1 o bis ) ; = — p
le terme en ^ manquant au second membre. Done, dans le residu de la
fonetion (10), le seul terme qui puisse contenir un logarithme di sparait, et il ne reste que des termes rationnels en u et v.
2° Le point a t'infini est sur le cercle isotrope, ou c'est un point de contact do la courhe £ et du plan de l'infini.
Dans les deux cas, il est clair que A2 + B2-+-C2 s'annule en ce point; des lors, dans ft(~k), le terme logarithmique
. F — 4> v/A--f- B-+ C- Josr Y
tend vers logp> ou zero. Les logarithmes disparaissent done encore
dans les residus. II ne peut y avoir d'exception que si F s'annule au point considere, et de telle sorte que I'expression
ou son carre
, . <1>2(A'4-B2-hC2) (") p; '
tende vers une limite finie, non nulle.
9. Voici done le theoreme general qui resulte de ces recherches :
Theor6me general. — Soit 3 une courhe algebriquc, intersection totale ou partielle de deux surfaces f = o, o = o, sur aucune desquelles elle nest multiple et qui ne se touchent pas en tous les points de cette courbe; posons pour abreger
On coupe la courbe 3 par des surfaces ay ant pour equation F2 — **( A2 + B2 + C2) — o ou fy—o,
F et <I> designant des polynomes quelconques en x, y, z, t; la sommc algebrique des arcs compris sur la courbe 3 entre deux surfaces de ce sysleme, §a et §{ , obtenues en faisant suiwe une loi de variation quelconque aux coefficients des polynomes F et <I>, est une f one lion rationnelle des valeurs initiates et finales de ces coefficients.
C'est cgalcrnent une fonction rationnelle des coefficients des deux surfaces f— o, s = o, pouivu toutefois que I equation de la projection de 3
sur un plan quelconque ail ses coef ficients ralionnels par rapport a ceux des deux surfaces ( 4 ).
Le theoreme precedent ne peat souffrir d' exception que si, pour les valeurs les plus generates des coefficients de F et de $ verifiant la loi de variation adoptee, les surfaces F2=o et (A2 + BJ+C2)$2=o passent par un meme point a l'infini de s, (x0, y0, z„, o), et de telle sorte que le quotient
$'(A«-i- B2-t- Ca)
tende vers une limite finie, non nnlle, lorsque le point (x, y, z, t) tend vers (xu,y0, z0, o), en restant sur une des branches de la courbe £ qui passent par ce dernier point.
II faut de plus, pour que rexception puisse se presenter, que ce point soit un point du cercle isotrope ou un point de contact de la courbe et du plan de l'infini.
// ny a done jamais d' exception au theoreme pour une courbe ne touchant pas te plan de l'infini et ne renconlrant pas le cercle isotrope, quelles que soient d'ailleurs ses singularites a distance finie ou in/inie.
Enfin, dans tons les cas, la sommedes arcs considered dans Venonce du theoreme general est egale a la somme des residus, par rapport aux zeros de t, de la fonction
\/{x't- xt' )•-• + ( f1 t-yt'y-+(z'l — zt>y
\ F + <bv/A!+ OJ0
oil le logarithme est pris entre les valeurs initiales et finales des coef ficients de F el de Dans cette fonclion, x, y, z, t sont les coordonnees d'un point de S supposees exprimees en fonction d'un parametre X.
10. Remarque. — Pour connaitre avec quel signe chaque arc entre dans la somme du theoreme precedent, il suffit de se rappeler que
(l) 11 ne pourrail en etre autrement que si les surfaces j — o, » = o se coupaient suivant plusieurs courbes appartenant, sua- Tune d'elles, a la meme serie que ©. Ce cas exceptionnel se presenle par exemple si l'une des surfaces est un cone et l'autre un plan arbitraire passant par son sommet.
s 1'element d'arc a ete mis sous la forme
F dX ds = — —- , O A
ce qui donne le signe de chaque arc infiniment petit, et par suite de chaque arc on de chaque portion d'arc fini.
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